组合算法注记2——可重复组合问题

以前写了篇文章（见这里）介绍了一般组合问题的两个常见解法，这里再对可重复组合问题进行分析。

可重复组合问题是指，在计算（生成）组合时可以允许元素重复的一类组合问题。例如，对于有四个元素的集合{a, b, c, d}，其可重复组合C(4, 3）有20个：aaa, aab, aac, aad, abb, abc, abd, acc, acd, add, bbb, bbc, bbd, bcc, bcd, bdd, ccc, ccd, cdd, ddd。

用P(n, k)表示从n个元素中选出k个元素（允许重复）的组合问题，那么此问题可以分解为两个子问题：P(n, k-1)和P(n-1, k)，
解释如下：
P(n, k)中n个元素的所有k元素组合可以分成两部分。
第一部分的每个组合均以第一个元素开始，再连接上k-1个元素的组合，即再连接上P(n,k-1)的每一个组合；
第二部分的每个组合不含有第一个元素，即P(n-1, k)中的每一个组合（此时元素为后n-1个元素）。
因此，P(n, k)分解为P(n, k-1)和P(n-1, k)。

如果用f(n, k)表示P(n, k)中的组合数，那么有：
（1）当k = 1时，f(n, k) = n
（2）当n = 1时，f(n, k) = 1
（3）当k > 1且n > 1时，f(n, k) = f(n, k -1) + f(n-1, k)

此外，有公式f(n, k) = C(n + k -1, k)（表示n+k-1选k的组合数，没有重复元素），这可以用归纳法证明，这里就不啰嗦了。

C++实现如下：

F:\tmp>type ttt.cpp
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

template
void CalcRepeatableCombination(const ElemType elements[], int num, int k,
    vector &pre)
{
    if (k == 1) {
        for (int i = 0; i < num; ++i) {
            copy(pre.begin(), pre.end(), ostream_iterator(cout));
            cout << elements[i];
            cout << endl;
        }
        return;
    }

    if (num == 1) {
        ostream_iterator outIter(cout);
        outIter = copy(pre.begin(), pre.end(), outIter);
        fill_n(outIter, k, elements[0]);
        cout << endl;
        return;
    }

    pre.push_back(elements[0]);
    CalcRepeatableCombination(elements, num, k - 1, pre);
    pre.pop_back();

    CalcRepeatableCombination(elements + 1, num - 1, k, pre);
}

template
void CalcRepeatableCombination(const ElemType elements[], int num, int k)
{
    assert(num >= k && k >= 1);
    vector one;
    CalcRepeatableCombination(elements, num, k, one);
}

int main()
{
    char elements[] = {'a', 'b', 'c', 'd'};
    CalcRepeatableCombination(elements, 4, 3);
}

F:\tmp>g++ ttt.cpp

F:\tmp>a.exe
aaa
aab
aac
aad
abb
abc
abd
acc
acd
add
bbb
bbc
bbd
bcc
bcd
bdd
ccc
ccd
cdd
ddd

F:\tmp>