一种变进制数及其应用（全排列之Hash实现）
作者：tyc611.cublog.cn，2008-10-08
我们经常使用的数的进制为“常数进制”，即始终逢p进1。例如，p进制数K可表示为
K = a0*p^0 + a1*p^1 + a2*p^2 + ... + an*p^n （其中0 <= ai <= p-1），
它可以表示任何一个自然数。
对于这种常数进制表示法，以及各种进制之间的转换大家应该是很熟悉的了，但大家可能很少听说变进制数。这里我要介绍一种特殊的变进制数，它能够被用来实现全排列的Hash函数，并且该Hash函数能够实现完美的防碰撞和空间利用（不会发生碰撞，且所有空间被完全使用，不多不少）。这种全排列Hash函数也被称为全排列数化技术。下面，我们就来看看这种变进制数。
我们考查这样一种变进制数：第1位逢2进1，第2位逢3进1，……，第n位逢n+1进1。它的表示形式为
K = a1*1! + a2*2! + a3*3! + ... + an*n! （其中
0 <= ai <= i），
也可以扩展为如下形式（因为按定义a0始终为0），以与p进制表示相对应：
K = a0*0! + a1*1! + a2*2! + a3*3! + ... + an*n! （其中
0 <= ai <= i）。
（后面的变进制数均指这种变进制数，且采用前一种表示法）
先让我们来考查一下该变进制数的进位是否正确。假设变进制数K的第i位ai为i+1，需要进位，而ai*i!=(i+1)*i!=1*(i+1)!，即正确的向高位进1。这说明该变进制数能够正确进位，从而是一种合法的计数方式。
接下来我们考查n位变进制数K的性质：
（1）当所有位ai均为i时，此时K有最大值
MAX[K] = 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n!
= 1! + 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! - 1
= (1+1)*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! - 1
= 2! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! - 1
= ...
= (n+1)!-1
因此，n位K进制数的最大值为(n+1)!-1。
（2）当所有位ai均为0时，此时K有最小值0。
因此，n位变进制数能够表示0到(n+1)!-1的范围内的所有自然数，共(n+1)!个。
在一些状态空间搜索算法中，我们需要快速判断某个状态是否已经出现，此时常常使用Hash函数来实现。其中，有一类特殊的状态空间，它们是由全排列产生的，比如N数码问题。对于n个元素的全排列，共产生n!个不同的排列或状态。下面将讨论如何使用这里的变进制数来实现一个针对全排列的Hash函数。
从数的角度来看，全排列和变进制数都用到了阶乘。如果我们能够用0到n!-1这n!个连续的变进制数来表示n个元素的所有排列，那么就能够把全排列完全地数化，建立起全排列和自然数之间一一对应的关系，也就实现了一个完美的Hash函数。那么，我们的想法能否实现呢？答案是肯定的，下面将进行讨论。
假设我们有b0,b1,b2,b3,...,bn共n+1个不同的元素，并假设各元素之间有一种次序关系b0
M = d1*1! + d2*2! + ... + dn*n!
因此，每个排列都可以按这种方式表示成一个n位变进制数。下面，我们来考查n位变进制数能否与n+1个元素的全排列建立起一一对应的关系。
由于n位变进制数能表示(n+1)!个不同的数，而n+1个元素的全排列刚好有(n+1)!个不同的排列，且每一个排列都已经能表示成一个n位变进制数。如果我们能够证明任意两个不同的排列产生两个不同的变进制数，那么我们就可以得出结论：
★ 定理1 n+1个元素的全排列的每一个排列对应着一个不同的n位变进制数。
对于全排列的任意两个不同的排列p0,p1,p2,...,pn（排列P）和q0,q1,q2,...,qn（排列Q），从后往前查找第一个不相同的元素，分别记为pi和qi（0 < i <= n）。
（1）如果qi > pi，那么,
如果在排列Q中qi之前的元素x与qi构成逆序对，即有x > qi，则在排列P中pi之前也有相同元素x > pi（因为x > qi且qi > pi），即在排列P中pi之前的元素x也与pi构成逆序对，所以pi的逆序数大于等于qi的逆序数。又qi与pi在排列P中构成pi的逆序对，所以pi的逆序数大于qi的逆序数。
（2）同理，如果pi > qi，那么qi的逆序数大于pi的逆序数。
因此，由（1）和（2）知，排列P和排列Q对应的变进制数至少有第i位不相同，即全排列的任意两个不同的排列具有不同的变进制数。至此，定理1得证。
计算n个元素的一个排列的变进制数的算法大致如下（时间复杂度为O(n^2)）：
template
size_t PermutationToNumber(const T permutation[], int n)
{
// n不能太大，否则会溢出（如果size_t为32位，则n <= 12）
size_t result = 0;
for (int j = 1; j < n; ++j) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < j; ++k) {
if (permutation[k] > permutation[j])
++count;
}
// factorials[j]保存着j!
result += count * factorials[j];
}
return result;
}
说明：
（1）由于n!是一个很大的数，因此一般只能用于较小的n。
（2）有了计算排列的变进制数的算法，我们就可以使用一个大小为n!的数组来保存每一个排列的状态，使用排列的变进制数作为数组下标，从而实现状态的快速检索。如果只是标记状态是否出现，则可以用一位来标记状态。
最后，附上一段完整的代码来演示使用变进制数实现全排列的数化（或者Hash，随便怎么称乎了）。
2008.10.9 补充：
在“十进制数 <--> 变进制数 <--> 排列”的转换中，
（1）从十进制数到变进制数的转换方法与p进制数之间的转换类似，但区别是被除数和模数是依次是2,3,4,...n，而不是固定的p
（2）从变进制数到排列的转换算法如下：
使用一个有序的（升序）元素集合作为初始待排子集，然后按照如下过程处理：
从变进制数的高位向低位扫描，对于变进制数的每一位ai，
从当前待排子集中选出第ai+1大元素E，并把它与当前待排子集中它后面的子序列进行交换，然后从当前待排子集中去掉元素E
重复以上过程，直到所有变进制数的位扫描完毕，此时当前待排子集将刚好剩下一个元素，得到与变进制数对应的排列
“十进制数 <--> 变进制数 <--> 排列”之间的转换代码如下：
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
// 把十进制数转换为变进制数，并返回变进制数的位数
// 变进制数varNumber[0]对应着变进制数的最低位
int DecimalToVariableRadix(size_t decimalNumber, vector &varNumber)
{
varNumber.clear();
int carry = 2;
while (decimalNumber > 0) {
varNumber.push_back(decimalNumber % carry);
decimalNumber /= carry;
++carry;
}
if (varNumber.empty())
varNumber.push_back(0);
return varNumber.size();
}
// 把十进制数转换为指定位数的变进制数（高位填充0），并返回变进制数的实际有效位数
// 如果产生的变进制数的位数比指定的位数要多，则指定位数不起作用
// 变进制数varNumber[0]对应着变进制数的最低位
int DecimalToVariableRadix(size_t decimalNumber, vector &varNumber, int num)
{
varNumber.clear();
int carry = 2;
while (decimalNumber > 0) {
varNumber.push_back(decimalNumber % carry);
decimalNumber /= carry;
++carry;
}
int size = varNumber.size();
if (size < num)
varNumber.insert(varNumber.end(), num - size, 0);
return size;
}
// 把变进制数转换为十进制数
// 变进制数varNumber[0]对应着变进制数的最低位
size_t VariableRadixToDecimal(const int varNumber[], int num)
{
size_t factor = 1;
size_t result = 0;
for (int i = 0; i < num; ++i) {
result += varNumber[i] * factor;
factor *= i + 2;
}
return result;
}
// 把排列转换为变进制数，变进制数的高位可能会出现多个0
// 变进制数varNumber[0]对应着变进制数的最低位
template
void PermutationToVariableRadix(const ElemType permutation[], int num, vector &varNumber)
{
for (int i = 1; i < num; ++i) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < i; ++k) {
if (permutation[k] > permutation[i])
++count;
}
varNumber.push_back(count);
}
}
// 把变进制数转换为排列，要求传入的排列元素集合是有序的（升序）
// 并且要求变进制数的位数（包括高位的0）刚好比排列元素少一
// 变进制数varNumber[0]对应着变进制数的最低位
template
void VariableRadixToPermutation(const int varNumber[], int num, ElemType perm[])
{
for (int k = num - 1; k >= 0; --k) {
// 交换当前待排子集中第(varNumber[k] + 1)大元素和它后面的子序列
int m = k + 1; // 当前待排子集中最后一个元素下标
int j = m - varNumber[k]; // 当前待排子集中第(varNumber[k] + 1)大元素
#if 0
// 实现std::rotate的功能
ElemType tmp = perm[j];
for (; j < m; ++j)
perm[j] = perm[j + 1];
perm[m] = tmp;
#else
rotate(perm + j, perm + j + 1, perm + m + 1);
#endif
}
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
class AssureException: public std::exception
{
};
#define Assure(os, x) (void)((!!(x)) || (ShowFailedMessage(os, #x, __FILE__, __LINE__), 0))
inline void ShowFailedMessage(std::ostream &os, const char* expr, const char *file, size_t line)
{
os << "Failed: " << expr << ", file \"" << file << "\", line " << line << '\n';
throw AssureException();
}
void ShowUsage1()
{
try {
size_t num = 235;
vector varNumber;
DecimalToVariableRadix(num, varNumber);
cout << "Decimal number: " << num;
cout << "\nConverted to variable radix number (low -> high): ";
copy(varNumber.begin(), varNumber.end(), ostream_iterator(cout, " "));
size_t newNum = VariableRadixToDecimal(&varNumber[0], varNumber.size());
cout << "\nConverted back to decimal number: " << newNum << '\n';
Assure(cout, num == newNum);
cout << endl;
}
catch (AssureException) {
}
}
void ShowUsage2()
{
try {
char perm[] = {'d', 'e', 'a', 'b', 'f', 'c', 'g'};
const int NUM = sizeof(perm) / sizeof(perm[0]);
vector varNumber;
PermutationToVariableRadix(perm, NUM, varNumber);
cout << "Permutation: ";
copy(perm, perm + NUM, ostream_iterator(cout));
cout << "\nConverted to variable radix number (low -> high): ";
copy(varNumber.begin(), varNumber.end(), ostream_iterator(cout, " "));
char newPerm[NUM] = {'a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g'};
VariableRadixToPermutation(&varNumber[0], varNumber.size(), newPerm);
cout << "\nConverted back to permutation: ";
copy(newPerm, newPerm + NUM, ostream_iterator(cout));
cout << '\n';
Assure(cout, equal(perm, perm + NUM, newPerm));
cout << endl;
}
catch (AssureException) {
}
}
void Test()
{
try {
cout << "testing \"permutation -> variable radix -> decimal -> "
"variable radix -> permutation\"...";
const int NUM = 9;
char perm[NUM] = {'1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
do {
// permutation will be converted to variable radix number
vector varNumber;
PermutationToVariableRadix(perm, NUM, varNumber);
// variable radix number will be converted to decimal number
size_t decimalNumber = VariableRadixToDecimal(&varNumber[0], varNumber.size());
// decimal number will be converted back to variable radix number
vector newVarNumber;
DecimalToVariableRadix(decimalNumber, newVarNumber, NUM - 1);
// variable radix number will be converted back to permutation
char newPerm[NUM] = {'1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};
VariableRadixToPermutation(&newVarNumber[0], newVarNumber.size(), newPerm);
Assure(cout, equal(varNumber.begin(), varNumber.end(), newVarNumber.begin()));
Assure(cout, equal(perm, perm + NUM, newPerm));
} while (next_permutation(perm, perm + NUM));
cout << "done. Ok!" << endl;
}
catch (AssureException) {
}
}
int main()
{
ShowUsage1();
ShowUsage2();
Test();
}
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