法雷级数与欧拉函数

法雷级数与欧拉函数

 

    R.亨斯贝尔格著李忠翻译的《数学中的智巧》一书，介绍了法雷级数。这里每一行从0/1开始，以1/1结尾，其它数自左至右将所有的真分数按增加顺序排列；第n行是由所有分母小于或等于n的真分数组成，我们称为n阶法雷级数。如下表：

      F1：                            0/1 1/1

      F2：                         0/1 1/2 1/1

      F3：                    0/1 1/3 1/2 2/3 1/1

      F4：               0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1

      F5：     0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

      F6：0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1

      ……………………………………

    这里我们想问的是第n行Fn的真分数的个数有多少个呢？

我们设Fn的个数为ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的个数是分母是n，分子比n小且与n互质的数的个数，这正是欧拉函数φ（n）。即

          ψ(n)=ψ(n-1)+ φ（n）

          ψ（1）=1+φ（1）

          ψ（2）=ψ（1）+φ（2）

          ψ（3）=ψ（2）+φ（3）

          ……………………

          ψ(n)= ψ(n-1)+ φ（n）

所以   ψ(n)=1+φ（1）+φ（2）+φ（3）+……+φ（n）

很容易证明，当n≥3时，欧拉函数φ（n）是个偶数。由此我们得到除ψ（1）=2是偶数外，法雷级数其它各级的个数都是奇数，并且许多是素数。ψ（1）=2，ψ（2）=3，ψ（3）=5，ψ（4）=7，ψ（5）=11，ψ（6）=13，ψ（7）=19，ψ（8）=23，ψ（9）=29，……。