并查集

并查集及其应用

2007-11-24 13:07

       并查集的学习告一段落，整理总结一下与大家共勉~

        并查集：(union-find sets)是一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数、最小公共祖先、带限制的作业排序，还有最完美的应用：实现Kruskar算法求最小生成树。其实，这一部分《算法导论》讲的很精炼。

       一般采取树形结构来存储并查集，在合并操作时可以利用树的节点数(加权规则)或者利用一个rank数组来存储集合的深度下界--启发式函数，在查找操作时进行路径压缩使后续的查找操作加速。这样优化实现的并查集，空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。
它支持以下三种操作:
　　－Union (Root1, Root2) //合并操作；把子集合Root2和子集合Root1合并.要求：Root1和 Root2互不相交,否则不执行操作.
　　－Find (x) //搜索操作；搜索元素x所在的集合,并返回该集合的名字--根节点.
　　－UFSets (s) //构造函数。将并查集中s个元素初始化为s个只有一个单元素的子集合.
　　－对于并查集来说，每个集合用一棵树表示。
　　－集合中每个元素的元素名分别存放在树的结点中，此外，树的每一个结点还有一个指向其双亲结点的指针。  
       －为简化讨论，忽略实际的集合名，仅用表示集合的树的根来标识集合。

以下给出我的两种实现:

//Abstract: UFSet                 

//Author:Lifeng Wang （Fandywang）

// Model One 与Model 2 路径压缩方式不同,合并标准不同

const int MAXSIZE = 500010;

int rank[MAXSIZE];    // 节点高度的上界

int parent[MAXSIZE]; // 根节点

int FindSet(int x){// 查找+递归的路径压缩

    if( x != parent[x] ) parent[x] = FindSet(parent[x]);

     return parent[x];

}

void Union(int root1, int root2){

     int x = FindSet(root1), y = FindSet(root2);

     if( x == y ) return ;

     if( rank[x] > rank[y] ) parent[y] = x;

     else{

         parent[x] = y;

         if( rank[x] == rank[y] ) ++rank[y];

     }

}

void Initi(void){

     memset(rank, 0, sizeof(rank));

     for( int i=0; i < MAXSIZE; ++i ) parent[i] = i;

}

// Model Two

const int MAXSIZE = 30001;

int pre[MAXSIZE]; //根节点i,pre[i] = -num,其中num是该树的节点数目;

                   //非根节点j,pre[j] = k,其中k是j的父节点

int Find(int x){//查找+非递归的路径压缩

     int p = x;

     while( pre[p] > 0 )    p = pre[p];

     while( x != p ){

         int temp = pre[x]; pre[x] = p; x = temp;

     }

     return x;

}

void Union(int r1, int r2){

     int a = Find(r1); int b = Find(r2);

     if( a == b ) return ;

     //加权规则合并

     if( pre[a] < pre[b] ){

         pre[a] += pre[b]; pre[b] = a;

     }

     else {

         pre[b] += pre[a]; pre[a] = b;

     }

}

void Initi(void)

{

    for( int i=0; i < N; ++i ) pre[i] = -1;

}        　　

并查集的一些题目和我的相关解题报告:

          最基础的并查集
最基本的并查集
       并查集的拓展
注意: 只有一组数据;
要充分利用题意所给条件:有三类动物A,B,C，这三类动物的食物链
构成了有趣的环形。A吃B， B吃C，C吃A。也就是说:只有三个group
并查集的拓展
法一:深度优先遍历
每次遍历记录下该点是男还是女，只有:男-〉女，女-〉男满足，否则，找到同性恋，结束程序。
法二:二分图匹配
法三:并查集的拓展:和1182很像，只不过这里就有两组，而1182是三组,1611无限制
    并查集+自定义排序+贪心求"最小生成树"
答案不唯一，不过在ZOJ上用QSORT()和SORT()都能过，在POJ上只有SORT()才能过...
POJ 1703 Find them, Catch them 并查集的拓展
这个和很像，就是把代码稍微修改了一下就AC了！
注意：And of course, at least one of them belongs to Gang Dragon, and the same for Gang Snake. 就是说只有两个组。
        并查集的应用
需要注意的地方：1、并查集；2、N的范围，可以等于1001；3、从N+1行开始，第一个输入的可以是字符串。
            并查集很好的应用
1、与 银河英雄传说==NOI2002 Galaxy一样；2、增加了一个数组behind[x],记录战舰x在列中的相对位置；3、详细解题报告见银河英雄传说。

   == 最小生成树

法一：Prim算法；法二：并查集实现Kruskar算法求最小生成树

== 带限制的作业排序问题（贪心+并查集）

提高题目：