算法的时间复杂度

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数。T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。“大O记法”.在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为 n的函数 。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说 它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的 O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。 

 Temp=i;
i=j;
j=temp;
                     

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。 

例 2.1. 交换i和j的内容

 1） sum=0；             （一次）
2） for(i=1;i<=n;i++)   （n次 ）
3）    for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
4）         sum++；       （n^2次 ）


解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

例 2.2.   

 for (i=1;i...{
 y=y+1;        ①
 for (j=0;j<=(2*n);j++)
    x++;           ②
}          

解：语句1的频度是n-1,             语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1.
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2,该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).
         
                                                     

例 2.3. 

 a=0;b=1;      ①
for (i=1;i<=n;i++)　②
...{
  s=a+b;　　　　③　　
  b=a;　　　　　④
  a=s;　　　　　⑤
}


解：语句1的频度：2,        语句2的频度： n,        语句3的频度： n-1,        语句4的频度：n-1,    
语句5的频度：n-1,                                  则：T（n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

例 2.4. 

 i=1;       ①
while (i<=n)
i=i*2; ②

解：语句1的频度是1,        设语句2的频度是f(n),        则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    
取最大值f(n)= log2n,则该程序的时间复杂度T(n)=O(log2n )

例 2.5. 

 for(i=0;i...{
  for(j=0;j  ...{
    for(k=0;k      x=x+2;
  }
}


解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k
当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次
所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6
所以时间复杂度为O(n^3).

我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。 

下面是一些常用的记法： 

访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。 

指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况， 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。