常用算法——递推法

三、递推法

  递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N的解。

 
【问题】   阶乘计算
问题描述：编写程序，对给定的n（n≦100），计算并输出k的阶乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效数字。
由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整数数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有m位成整数N用数组a[ ]存储：
  N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100
并用a[0]存储长整数N的位数m，即a[0]=m。按上述约定，数组的每个元素存储k的阶乘k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素……。例如，5！=120，在数组中的存储形式为：
3   0   2   1   ……
首元素3表示长整数是一个3位数，接着是低位到高位依次是0、2、1，表示成整数120。
  计算阶乘k！可采用对已求得的阶乘(k-1)！连续累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，计算5！，可对原来的24累加4次24后得到120。细节见以下程序。
# include
# include
# define MAXN   1000

void pnext(int a[ ],int k)
{  
    int *b, m = a[0], i, j, r, carry;
    b = (int * ) malloc( sizeof(int)* (m+1) );
    for ( i=1;i<=m;i++)
        b[i] = a[i];
    for ( j=1;j    {  
        for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)
        {  
            r = ( i <= a[0] ? a[i]+b[i] : a[i] ) + carry;
            a[i] = r%10;
            carry = r/10;
        }
        if (carry) a[++m]=carry;
    }
    free(b);
    a[0] = m;
}

 

void write(int *a,int k)
{  
    int i;
    printf("%4d!=",k);
    for (i=a[0];i>0;i--)
        printf("%d",a[i]);
    printf("\n\n");
}

 

int main()
{  
    int a[MAXN],n,k;
    printf("Enter the number n: ");
    scanf("%d",&n);
    a[0]=1;
    a[1]=1;
    write(a,1);
    for (k=2;k<=n;k++)
    {  
        pnext(a,k);
        write(a,k);
        getchar();
    }
    system("pause");
}