关于sqrt()开平方根取整数的问题讨论

原帖：

//题目：输入一个大于3的整数n，判定它是否为素数(prime，又称质数)
#include 
#include 
int main() {int n,i,k;
    printf("please enter a integer number,n=?");
    scanf("%d",&n);
    k=sqrt(n);
    for(i=2;i<=k;i++)
        if(n%i==0)break;
        if(i<=k)
            printf("%d is not a prime number.\n",n);
        else
            printf("%d is a prime number.\n",n);
    return 0;
}

这个程序的代码首先输入需要判断的整数并存放在变量n中（其实这个变量定义为unsigned类型更理想，因为题目中已经明确是大于3的整数）。紧接着通过：
k=sqrt(n);
试图求出n的平方根或其平方根的整数部分。然而这个写法是有问题的，能否正确地按照希望求得n的平方根或其整数部分是得不到保证的。
这是因为sqrt()函数的函数原型是：
double sqrt (double);
也就是说，sqrt()函数的参数和返回值都是double数据类型。double类型属于浮点数据类型的一种，浮点类型并非像整数类型那样可以精确地表示整数，正相反，浮点数据类型用于近似地表示实数，尽管在绝大多数情况下可以精确地表示，但就一般意义上而言，浮点数据类型只是对一定范围内的实数的一种近似表示。
 因此，在k=sqrt(n)这个表达式中，不可能指望这个n是准确的，因为按照sqrt()函数原型的要求，这个n实际上表示的是(double)n，即调用时会存在类型转换，转换后的值为double类型，它是否精确等于原来的int类型的n值，一般而言是不清楚的。
 或许有些对IEEE754标准很熟悉的人对此不能赞同——他们非常清楚在这个标准下浮点数的表示方法和内部结构。好吧，“不争论”，继续看下一个不确定性。
 由于sqrt()函数的返回值是double类型，这表明sqrt()函数只承诺为我们求得实参的平方根的近似值——而不是像数学那样一定可以得到一个精确值。换句话说，当调用sqrt(9.)的时候，函数未必会精确地得到3.0这个数学上的精确的平方根，sqrt(9.)的值无论为3.000000000000001还是2.999999999999999都有可能。这虽然是出于理性的判断，但也并非绝无经验事实作为佐证。试看下面的代码：

#include 
#include 

int main( void ) {
    int p , n = 4 ;
    p = pow( 10 , n );
    printf("%d\n", p );
    return 0;
}

在某些编译器上的输出结果是：
9999
这清楚地表明pow()这样的返回值为double类型的数学函数只是一种近似计算的函数。sqrt()这个数学函数也是如此，sqrt(9.)的值无论为3.0、3.000000000000001还是2.999999999999999都有可能。一旦sqrt(9.)的值为2.999999999999999，那么
k=sqrt(n);
将使k被赋值为2而不是预期中的3。这样代码中的下一句：
for(i=2;i<=k;i++)
的循环次数就会产生错误。这种错误在何时出现很难预料，但k=sqrt(n)是一个似是而非的表达则是确切无疑的。
 这种未必立刻发作的错误比那些立刻就产生症状的BUG更可怕，它就像一颗不定时炸弹一样说不定什么时候造成损失。古代有则守株待兔的寓言，说的是某一天出现了兔子，你不能指望天天出现兔子。但这里的情形恰恰相反，尽管很多天都没出现兔子，但你保不准哪天就会突然窜出一只兔子。而一旦出现兔子，其严重后果则是你假定不会出现兔子时所无法预料的。
那么此时应该如何求n的平方根或其整数部分呢？实际上可以利用下面的数学常识轻易求得：
1=1^2
1+3=2^2
1+3+5=3^2
...
1+3+5+...+(2k-1)=k^2

后面正确的代码应用了这个原理。

#include 
#include 

int main( void ) {
    int n;
    printf("Please type the number: ");
    scanf("%d", &n);
    int _n = n, m = 1, max = 0;

#if 0
    while (_n >= m) {
        _n -= m;
        m += 2;
        max++;
    }
#else
    max=(int)sqrt((double)n);
    while (max * max <= n)
        max++;
    max--;
#endif
    printf("%d\n", max);
    return 0;
}

这样就能准确的求出一个正整数的平方根的整数部分。 
 
在此特别感谢pmerofc的指点。