RSA 共模攻击

原理

引子
假设有一家公司COMPANY，在员工通信系统中用RSA加密消息。COMPANY首先生成了两个大质数P,Q，取得PQ乘积N。并且以N为模数，生成多对不同的公钥及其相应的私钥。COMPANY将所有公钥公开。而不同的员工获得自己的私钥，比如，员工A获得了私钥d1.员工B获得了私钥d2.

现在，COMPANY将一条相同的消息，同时经过所有公钥加密，发送给所有员工。
此时，就可能出现共模攻击。
共模攻击
也称同模攻击，英文原名是 Common Modulus Attack 。
同模攻击利用的大前提就是，RSA体系在生成密钥的过程中使用了相同的模数n。
我们依然以上面的案例展开。
假设COMPANY用所有公钥加密了同一条信息M，也就是

c1 = m^e1%n
c2 = m^e2%n 

此时员工A拥有密钥d1他可以通过

m = c1^d1%n 

解密得到消息m
同时员工B拥有密钥d2
他可以通过

m = c2^d2%n 

解密得到消息m
如果，此时有一个攻击者，同时监听了A和B接收到的密文c1,c2，因为模数不变，以及所有公钥都是公开的，那么利用同模攻击，他就可以在不知道d1，d2的情况下解密得到消息m。

又到了高数时间~
这里就是要论证，当n不变的情况下，知道n,e1,e2,c1,c2 可以在不知道d1,d2的情况下，解出m。
首先假设，e1，e2互质
即

gcd(e1,e2)=1 

此时则有

e1*s1+e2*s2 = 1
式中，s1、s2皆为整数，但是一正一负。 

通过扩展欧几里德算法，我们可以得到该式子的一组解（s1,s2），假设s1为正数,s2为负数.
因为

c1 = m^e1%n
c2 = m^e2%n
所以

(c1^s1*c2^s2)%n = ((m^e1%n)^s1*(m^e2%n)^s2)%n
根据模运算性质，可以化简为

(c1^s1*c2^s2)%n = ((m^e1)^s1*(m^e2)^s2)%n
即

(c1^s1*c2^s2)%n = (m^(e1^s1+e2^s2))%n 

又前面提到

e1*s1+e2*s2 = 1 

所以

(c1^s1*c2^s2)%n = (m^(1))%n
(c1^s1*c2^s2)%n = m^%n 

即

c1^s1*c2^s2 = m 

也就是证明了命题：当n不变的情况下，知道n,e1,e2,c1,c2 可以在不知道d1,d2情况下，解出m。
这里还有一个小问题，顺带说明下。
我们知道解出来s2是为负数。
而在数论模运算中，要求一个数的负数次幂，与常规方法并不一样。
比如此处要求c2的s2次幂，就要先计算c2的模反元素c2r，然后求c2r的-s2次幂。

案例

n = 1022117
p = 1013
q = 1009
#936
fn = (p-1)*(q-1)
e = 17
d = 180017
m = int("h1".encode("hex"),16)
c1 = m**e%n
e1 = 5
d1 = 816077
c2 = m**e1%n
print n
print e
print e1
print c1
print c2

假设模数n固定为1022117，并且产生了（e,d）,(e1,d1)两个密钥对。
并且打印出m加密后的密文c1,c2.
求通过e,e1,c1,c2解出m来。
以下是一个可供利用的脚本

#coding=utf-8
def egcd(a, b):
  if a == 0:
    return (b, 0, 1)
  else:
    g, y, x = egcd(b % a, a)
    return (g, x - (b // a) * y, y)
def modinv(a, m):
  g, x, y = egcd(a, m)
  if g != 1:
    raise Exception('modular inverse does not exist')
  else:
    return x % m
def main():
  n = int(raw_input("input n:"))
  c1 = int(raw_input("input c1:"))
  c2 = int(raw_input("input c2:"))
  e1 = int(raw_input("input e1:"))
  e2 = int(raw_input("input e2:"))
  s = egcd(e1, e2)
  s1 = s[1]
  s2 = s[2]
  # 求模反元素
  if s1<0:
    s1 = - s1
    c1 = modinv(c1, n)
  elif s2<0:
    s2 = - s2
    c2 = modinv(c2, n)
  m = (c1**s1)*(c2**s2)%n
  print m
if __name__ == '__main__':
  main()

from gmpy2 import *
import libnum

n = 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

e1 = 17
e2 = 65537
s = gcdext(e1, e2)
s1 = s[1]
s2 = -s[2]

c1 = libnum.s2n(open("./veryhardRSA/flag.enc1", 'rb').read())
c2 = libnum.s2n(open("./veryhardRSA/flag.enc2", 'rb').read())
c2 = invert(c2, n)
m = (pow(c1,s1,n) * pow(c2 , s2 , n)) % n
print libnum.n2s(m)