词法分析(4)---NFA与DFA的转化

1. 子集构造(Subset Construction)

　　这是一个转换NFA到DFA的算法。我们知道NFA和DFA的区别最主要的就是一个状态和一个input symbol是否能够确定一个状态的问题，对于NFA，它将确定一个组状态，而DFA将确定一个状态，因此，我们有一个很好的办法就是把NFA的状态集对应每个DFA的状态，这就是subset construction的思想，不过这只是大概泛泛而论，我们需要更加明确的认识

　　1) NFA在任何一个input symbol下，映射的状态集(通过move函数，这个集合通常用T字母表示)应该被知道

　　2) 必须保证1)中状态集都对应了DFA中的一个状态

　　具体算法：

　　Input : 一个NFA N

　　Output : 接受相同语言的DFA D

　　Method : 为D构架一个transition table(转换表) Dtran，每个DFA的状态是一个NFA的状态集合(这里一定要注意前面说过的1)2)两点)。我们定义一些操作：

　　s 表示NFA的状态，T 表示NFA的状态集合，a表示一个input symbol

　　ε-transition(ε转换)就是说input symbol为ε时的transition(转换)

操作(operation)	描述(description)
ε-closure(s)	从NFA的状态s出发，只通过ε-transition到达的NFA的状态集合
ε-closure(T)	NFA的集合T中的状态p，只通过ε-transition到达的NFA的状态集合，再求这些集合的交集。用数学表达就是 {p|p 属于 ε-closure(t) , t属于T}
move(T,a)	NFA的集合，这个集合在input symbol为a，状态为T中任意状态情况下，通过一个转换得到的集合

　　注意一下，所有的操作都是针对NFA的状态或者状态集合，得到的时NFA的状态集合，或者说是DFA看为一个状态

　　Subset Construction

　　初始Dstates，它仅仅含有状态(D的状态)ε-closure(s0)，并且状态未被标记，s0表示开始状态，注意，Dstates放的是D的状态

while　(　Dstates　有未标记的状态　T　)　{　//　T是D中的一个状态，也是N中一个状态集
　　　　标记　T;
　　　　for　(　input　symbol　a　){　　　　　　　　　　　　　　　　　　//　遍历所有的input　symbol
　　　　　　　U　=　ε-closure(move(T,　a));　　　　　　　　//　move为NFA的move函数
　　　　　　　if　(　U　不在　Dstates　中　)
　　　　　　　　　　把U作为尚未标记的状态加入Dstates;
　　　　　　　Dtran[T,　a]　=　U
　　　　}
}

　　注意，状态s，ε-closure(s)一定包含s

　　我们先来熟悉上面的操作operation，再来看上面的算法

ε-closure(0)　=　{0,　1,　2,　4,　7}　　　//　从0状态出发的，input　symbol为ε的所有状态的集合
ε-closure(3)　=　{1,　2,　3,　4,　6,　7}
ε-closure(8)　=　{8}
ε-closure(　{3,　8}　)　=　ε-closure(3)　U　ε-closure(8)　=　{1,　2,　3,　4,　6,　7,　8}
move(0,a)　=　空
move(7,a)　=　{8}
move(8,b)　=　{9}
move(　{0,　1,　2,　4,　7},　a)　=　move(0,a)　U　move(1,a)　U　move(2,a)　U　move(4,a)　U　move(7,a)　=　{3,　8}

　　现在可以回去理解一下算法了。

　　这里再说说求ε-closure(T)的算法：

把T的所有状态压入stack(栈);
ε-closure(T)的初始值为　T　中的所有元素　;　　//　也就是一定包含他们本身
while(　栈非空　)　{
　　　　弹出栈顶元素　t　;
　　　　for(　每个属于　move(t,　ε)　的状态　u　){
　　　　　　　if(　u　不在　ε-closure(T)　中　){
　　　　　　　　　　u　加入　ε-closure(T);
　　　　　　　　　　把　u　入栈;
　　　　　　　}
　　　　}
}

　　下面对上图如何使用Set Construction算法来构建DFA做一个详细的描述：

　　1. 初始化Dstates 把集合 ε-closure(s0) = {0, 1, 2, 4, 7}作为第一个状态，设此状态为 A

　　2. 现在转化，input symbol {a, b}，因此，求：

　　ε-closure(move(A, a));

　　ε-closure(move(A, b));

　　这里会得到2个状态

　　ε-closure(move(A, a)) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8},设其为 B

　　ε-closure(move(A, b)) = {1, 2, 4, 5, 6, 7}, 设其为C

　　B，C放入Dstates

　　改写 Dtrans

　　最终得到的 Dtrans 为：

　　A = {0, 1, 2, 4, 7}

　　B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}

　　C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}

　　D = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}

　　因此，NFA转化成为DFA：