Cubic以及Trigonal cell弹性常数的计算 2

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另外一个思路就是应变能和应力之间的关系了，首先给几个参考的文献，下面要描述的内容可以在这些文献里面找到详细的解释：
1.First Principles Calculations of Second－ and third－order elastic constants for single crystals of arbitrary symmetry， Phys. Rev B. 75,094105 (2007), Jijun.Zhou et al.
2. Elastic Constants of Hexagonal Transition metals: Theory, Phys. Rev B. 51 (24)  17431 (1995);
3. Theory of Elastic Constants of Cubic Transition Metals and Alloys, Phys.Rev .B, 48(9), 5844 (1993);
为了便于大家进一步了解这部分内容，现将文献提供下载。
弹性常数和应变能之间的关系如图中所示：
首先根据Thurston和Wallace的理论将晶体在应力下的变形定义为初始坐标和终态坐标的导数关系。Lagrangian应变也得到相应的定义，这样我们将晶胞总能量按照应进行Taylor级数的展开。总能量对应变的二阶偏导数就是弹性常数，当然更高阶的导数也是存在的，但在线弹性理论范围内我们只讨论能量的二阶偏导数就可以了，三阶偏导数是非弹性项，这个和谐振子是很相像的，因为能量二阶导数如果是一个抛物线关系，那么可以保证力是线性的。

 

下面给出Cubic晶体和Trigonal晶体采用能量－应变法计算弹性常数的一般方法：
Cubic Class：
独立弹性常数个数C11，C12，C44。施加应变方式和对应应变能关系：

对于三方晶体而言独立弹性常数有6个，分别是C11，C12，C13，C14，C33和C44。因此至少需要六个应变模式，我们选取下面六个应变模式；对应的A也

通过Cij计算B， G和E的时候采用的方法大家可以参考Viogt－Reuss－Hill近似，Hill指出通过单晶体力学参数来计算多晶体的力学参量可以采用对Reuss bound和Viogt bound平均的方法。
建议阅读参考文献：
PRB 76 054115

如果是计算晶体Cij和P之间的关系，直接把P加到晶体结构上面，优化完以后计算Cij就可以了，这样就能得到dCij/dP关系；如果是如你前面所说的要计算cij和P的关系，那应该就是你说的计算了。