Tangent Space的基向量计算方法

在CG中，基于Per-Pixel的算法经常会涉及到Tangent Space的坐标变换，比如Bump Mapping，需要将Object Space的Light Vector转换到Tangent Space，然后在和该Pixel上的Normal Vector进行计算，因为Normal Vector是在Tangent Space中的。

像上面的Bump Mapping，对于Normal Texture，如果Normal Vector(这里的Normal Vector不是指Vertex上的)是设计在Mesh的Object Space中的话，一方面，Mesh的复杂度导致Normal Vector不方便设计；另外，如果Mesh的形状发生改变，那么原来的Normal Vector将不能够适用。所以，将Normal Vector的设计就放在统一的一个空间里面(Tangent Space)中，然后通过一个Triangle Surface上的几何信息，进行几何变化，最后在同一个坐标空间来使用。

对于一个Normal Texture的图示，他里面所有像素上的Normal Vector都在u,v,n坐标系上的，这也就是Tangent Space：

当将一个Normal Texture贴到Mesh上后，单考虑一个Vertex，他对应于Normal Texture上的一个点(具体在哪由这个Vertex的Texture Address u-v指定)，而他的法向量就对应了Tangent Space中的n，经过该Vertex，垂直于n可以构造出Tangent Space中的u-v平面，这实际上也就在Object Space中构造出了Tangent Space。如图所示，V1为该顶点，淡蓝色矩形框平面为对应的u-v平面：

在Object Space和Tangent Space两个坐标系下进行坐标变换必须找到这两个坐标系之间的过渡矩阵。

根据变换等式

*T =

 : 为Object Space中的基向量，实际上就是一个单位矩阵

T             : 过渡矩阵

 : 为Tangent Space的基向量

可见T = 构成的矩阵，所以这里要求的就是这三个基向量

zt这里就是这个Vertex上的n。xt，yt分别对应于u，v两个基向量，这是后面要求的两个向量。

根据一个Triangle上面的贴图，可以构建这个模型：

记：

Vertex1 : V1(x1, y1, z1), T1(u1, v1), N1(nx1, ny1, nz1)

Vertex2 : V2(x2, y2, z2), T2(u2, v2), N2(nx2, ny2, nz2)

Vertex3 : V3(x3, y3, z3), T3(u3, v3), N3(nx3, ny3, nz3)

记：

T21 = T2-T1 = (u21, v21)

T31 = T3-T1 = (u31, v31)

V21 = V2-V1

V31 = V3-V1

则有

V21_ = V21-V21*N1*N1                        V21*N1*N1是V21在u-v平面上的投影向量

V31_ = V31-V31*N1*N1

V21_和V31_分别为V21和V31在u-v平面上的投影向量

在图中的

v21 = Len(V21)*Nor(V21_)

v31 = Len(V31)*Nor(V31_)

Len()为计算对应向量的长度，Nor()为单位化对应向量，v21 和v31 分别为将V21和V31"拉到"u-v平面上去的向量。

根据在tangent space和Object Space两个空间是同构的，可以列出下面的等式：

u*u21 + v*v21 = v21

u*u31 + v*v31 = v31

解该方程，得到u，v，并单位化两个向量

通过上面的过程也就得到了--->过渡矩阵T。

得到过渡矩阵T后，就可以任意的转化两个坐标系中的坐标。

其他：

1：并不一定是标准正交基，所以T的转置矩阵并不一定等于T的逆矩阵。u，v的关系如何这要取决于上面的三个顶点的T1,T2,T3。

2：上面的计算过程是基于Vertex的，可以采用基于一个Triangle的计算方法，过程和上面是一致的，不同点在于这个时候u，v平面和Triangle平面重合。

3：在DirectX中有D3DXComputeTangent API对计算这三个基向量的支持。但是在他的描述中使用的是Tangent Vector(也就是u)，Binormal Vector(也就是v)和Normal Vector(也就是n)，且B = N Cross T