最小生成树之prim算法

最小生成树之prim算法

边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。

   最小生成树（MST）：权值最小的生成树。

   生成树和最小生成树的应用：要连通n个城市需要n－1条边线路。可以把边上的权值解释为线路的造价。则最小生成树表示使其造价最小的生成树。

   构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：

    1、尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；

    2、选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；

    MST性质：假设G＝(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。 

1.prim算法

  基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：

   在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。

   此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。

   Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。

注意：prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关，而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关，适合稀疏图。

看了上面一大段文字是不是感觉有点晕啊，为了更好理解我在这里举一个例子，示例如下：

 

（1）图中有6个顶点v1-v6，每条边的边权值都在图上；在进行prim算法时，我先随意选择一个顶点作为起始点，当然我们一般选择v1作为起始点，好，现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点，TE集合为所找到的边，现在状态如下：

U={v1}； TE={}；

（2）现在查找一个顶点在U集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

通过图中我们可以看到边v1-v3的权值最小为1，那么将v3加入到U集合，（v1，v3）加入到TE，状态如下：

U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；

（3）继续寻找，现在状态为U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；在与红线相交的边上查找最小值。

我们可以找到最小的权值为（v3，v6）=4，那么我们将v6加入到U集合，并将最小边加入到TE集合，那么加入后状态如下：

U={v1，v3，v6}； TE={（v1，v3），（v3，v6）}； 如此循环一下直到找到所有顶点为止。

（4）下图像我们展示了全部的查找过程：

2.prim算法程序设计

（1）由于最小生成树包含每个顶点，那么顶点的选中与否就可以直接用一个数组来标记used[max_vertexes];（我们这里直接使用程序代码中的变量定义，这样也易于理解）；当选中一个数组的时候那么就标记，现在就有一个问题，怎么来选择最小权值边，注意这里最小权值边是有限制的，边的一个顶点一定在已选顶点中，另一个顶点当然就是在未选顶点集合中了。我最初的一个想法就是穷搜了，就是在一个集合中选择一个顶点，来查找到另一个集合中的最小值，这样虽然很易于理解，但是很明显效率不是很高，在严蔚敏的《数据结构》上提供了一种比较好的方法来解决：设置两个辅助数组lowcost[max_vertexes]和closeset[max_vertexes]，lowcost[max_vertexes]数组记录从U到V－U具有最小代价的边。对于每个顶点v∈V－U,closedge[v], closeset[max_vertexes]记录了该边依附的在U中的顶点。

注意：我们在考虑两个顶点无关联的时候设为一个infinity 1000000最大值。

说了这么多，感觉有点罗嗦，还是发扬原来的风格举一个例子来说明，示例如下：

过程如下表：顶点标号都比图中的小1，比如v1为0，v2为1，这里首先选择v1点。

	Lowcost[0]	Lowcost[1]	Lowcost[2]	Lowcost[3]	Lowcost[4]	Lowcost[5]	U	V-U
closeset	v1，infinity	v1，6	v1，1	v1，5	v1，infinity	v1，infinity	v1	v1,v2,v3,v4,v5,v6

从这个表格可以看到依附到v1顶点的v3的Lowcost最小为1，那么选择v3，选择了之后我们必须要更新Lowcost数组的值，因为记录从U到V－U具有最小代价的边，加入之后就会改变。这里更新Lowcost和更新closeset数组可能有点难理解，

 for (k=1;k
            if (!used[k]&&(G[j][k]
                { lowcost[k]=G[j][k];
                closeset[k]=j; }
        }
j为我们已经选出来的顶点，如果G[j][k]，则意味着最小权值边发生变化，更新该顶点的最小lowcost权值，依附的顶点肯定就是刚刚选出的顶点j，closeset[k]=j。

	Lowcost[0]	Lowcost[1]	Lowcost[2]	Lowcost[3]	Lowcost[4]	Lowcost[5]	U	V-U
closeset	v1，infinity	v1，6	v1，1	v1，5	v3，6	v3，4	v1，v3	v1,v2,v4,v5,v6

这样一直选择下去直到选出所有的顶点。

（2）上面把查找最小权值的边结束了，但是这里有一个问题，就是我们没有存储找到的边，如果要求你输出找到的边那么这个程序就需要改进了，我们刚开始的时候选取的是v1作为第一个选择的顶点，那我们设置一个father[]数组来记录每个节点的父节点，当然v1的父节点肯定没有，那么我们设置一个结束标志为-1，每次找到一个新的节点就将它的父节点设置为他依附的节点，这样就可以准确的记录边得存储了。

语法：prim(Graph G,int vcount,int father[]);
参数：
G：	图，用邻接矩阵表示
vcount：	表示图的顶点个数
father[]：	用来记录每个节点的父节点
返回值：	null
注意：
	常数max_vertexes为图最大节点数
	常数infinity为无穷大
	数组存储从0开始
	如果下面的源程序有错请参照测试程序。
源程序：
	#define infinity 1000000 #define max_vertexes 5  typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes]; void prim(Graph G,int vcount,int father[]) {     int i,j,k;     int lowcost[max_vertexes]; int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes]; int min;     for (i=0;i         { /* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */         lowcost[i]=G[0][i];     /* 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 */         closeset[i]=0;          used[i]=0;         father[i]=-1;          }     used[0]=1;  /*第一个节点是在U集合里的*/ /* vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 */     for (i=1;i<=vcount-1;i++)         {         j=0;     min = infinity;        /* 找满足条件的最小权值边的节点k */         for (k=1;k          /* 边权值较小且不在生成树中 */             if ((!used[k])&&(lowcost[k]<min))            {               min =  lowcost[k];               j=k;            }         father[j]=closeset[j];          used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中         for (k=1;k          /* 发现更小的权值 */             if (!used[k]&&(G[j][k]                 {                    lowcost[k]=G[j][k];/*更新最小权值*/                   closeset[k]=j;;/*记录新的依附点*/                  }         } }

测试程序：

 

测试用例：

1 2 6

1 3 1

1 4 5

2 3 5

2 5 3

3 4 5

3 5 6

3 6 4

5 6 6

4 6 2

#include 

#include 

#include 

#define infinity 1000000

#define max_vertexes 6 

typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes];

void prim(Graph G,int vcount,int father[])

{    

int i,j,k; 

    int lowcost[max_vertexes];

int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes];

int min;  

for (i=0;i

  {

/* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */   

    lowcost[i]=G[0][i];

    /* 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 */

     closeset[i]=0;      

  used[i]=0;    

    father[i]=-1;      

}    

used[0]=1; /*第一个节点是在s集合里的*/

/* vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 */  

  for (i=1;i<=vcount-1;i++)      

   {       

 j=0;

     min = infinity;

       /* 找满足条件的最小权值边的节点k */      

     for (k=1;k

         /* 边权值较小且不在生成树中 */     

 if ((!used[k])&&(lowcost[k]

    {

              min =  lowcost[k];

              j=k;

            }       

    father[j]=closeset[j];   

printf("%d %d\n",j+1,closeset[j]+1);//打印边   

used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中     

for (k=1;k

         /* 发现更小的权值 */       

   if (!used[k]&&(G[j][k]

{ 

                  lowcost[k]=G[j][k];/*更新最小权值*/       

      closeset[k]=j;;/*记录新的依附点*/

    }      

   }

}

                 

int main()

{

FILE *fr;

int i,j,weight;

Graph G;

int fatheer[max_vertexes];

for(i=0; i

for(j=0; j

G[i][j] = infinity;

fr = fopen("prim.txt","r");

if(!fr)

{

printf("fopen failed\n");

exit(1); 

}

while(fscanf(fr,"%d%d%d", &i, &j, &weight) != EOF)

{

G[i-1][j-1] = weight;

G[j-1][i-1] = weight;

}

prim(G,max_vertexes,fatheer);

return 0;

}

程序结果：

3 1

6 3

4 6

2 3

5 2

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