浮点数比较的问题

　　再平常不过的问题，再次记录一下。

　　一般学校在教语言基础的时候会提到，浮点数的比较运算要注意，不要直接做比较。(嘛。。。我当时老师其实就没说过，非科班的问题？)下面详细分析原因：

　　首先，要知道浮点数的二进制表示：

（摘自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html）

　　根据国际标准IEEE 754，浮点数二进制用如下方式表示：

V = (-1)^s × M × 2^E　　（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。　　（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。　　（3）2^E表示指数位。

　　举例来说，十进制数5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01 × 2＾2。那么按照上面的格式，s = 0, M = 1.01, E = 2。

　　IEEE 754规定，对于32位浮点数，最高的一位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位是有效数字M。

　　64位浮点数，最高的一位是符号位s，接着的11位是指数E，剩下的52位是有效数字M。

　　IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特殊规定。

　　有效数字M：前面说过，1≤M≤2，也就是说，M写成1.xxxx的形式，xxxx表示小数部分。IEEE 754规定，因为M的第一位一定是1，可以被舍去，所以机器内容M只保存后面的xxxx部分。比如，保存1.01时，只保存01，等到读取时再把第一位的1加上去。这样可以节省一位有效数字。

　　指数E的规定：

　　首先，E是一个无符号整数。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0～255。但是，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127。

　　比如，2＾10的E是10，所以保存32位浮点数时，必须保存成10 127=137，即10001001。

　　然后，指数E还可以再分成3种情况：

1. E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
2. E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
3. E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

　　那么为什么会有精度问题呢？

　　首先，尝试将0.456这个浮点数，转用2进制表示。类似于十进制，二进制小数0.1意为1× 2＾-1为十进制0.5；0.01意为1× 2＾-2为十进制0.25。（转换方法原理不做解释）

　　计算步骤为：

1位，0.456小于位阶值0.5，故该位为0； 2位，0.456大于位阶值0.25，该位为1，并将0.45减去0.25得0.206进下一位； 3位，0.206大于位阶值0.125，该位为1，并将0.206减去0.125得0.081进下一位； 4位，0.081大于0.0625，为1，并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位； 5位0.0185小于0.03125，为0……

　　这时候我们可以看到，可能超过M的最大位数(32位浮点数为23)也不会除尽。那么也就是说，机器中无法精确的保存0.456这个浮点数，其保存的值是接近0.456的一个数。

　　其次，float类型的浮点数，有效数字位数有限(一般是十进制7位)，在进行浮点运算的时候，这个精度往往会导致运算的结果和实际期望的结果之间有误差。 　　float的有效数字是23bit，对应7~8位十进制数，所以有效数字有的编译器是7位，也有的是8位。所以超过有效数字长度的部分计算机就不知道了，比如：

float f = 1.23456789 * 10＾8;//这里写法代表科学计数法，只是个意思，可能编译器不认识float m = f + 20;   //这样计算机会认为f和m是相等的

　　综上，我们了解到对浮点数进行比较运算会很不靠谱，要尽量避免浮点数的比较操作。一定要比较可以用如下：

fabs(A-B) < epsilon，epsilon为绝对误差或者fabs((A-B)/A) < relError，relError为相对误差

这类误差分析的方式。但是，即使这样仍然是不能保证结果的可靠或者可以接受。