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分类: LINUX

2011-05-26 10:58:09

初解

谨以此文纪念过往的岁月

一.前言

首先申明俺不是一个算法工程师,俺是一个底层驱动工程师,有人会发问一个底层驱动工程师需要这个吗?但是我不幸的告诉你,确实是需要的,不过我们不要像算法工程师那样搞得很精通,但是还是需要去了解这是个什么东西。说实话,这个东西在大学时候学过,还好好的去理解了一样,不过到现在忘的差不多了,这愈发的让我明白一句话,好记性不如烂笔头,如果以前有好好记录的好习惯,那现在只要把以前的东西拿出来看看再印证一下就可以了。不过历史不可以如果。为了不让明天继续懊悔今天,在这里记录下本人学习的一些记录。

二.FFT的数学基础

FFT是什么,额,说白了就是一种时域和频域变换的手段。什么是时域什么是频域,额,你google吧,鄙视百度!

这里说明一下,相比较FFT而言,我们更加关心离散傅里叶变换(DTF),因为我们底层驱动工程师面对的是一个一个离散的数据。也许大家还是对FFT的变换的概念还不理解,那我们举个例子来说吧:

1 AD在一个1Hz正弦波周期采集了1024个数据(即你的采样频率为1024Hz),从时域上看1s内采集了1024数据,那1024个数据做1024点的FFT变换。我们以数据的下标作为横轴,而数据的值作为纵轴,你会发现第一个点的值最大,我们可以从该值计算出我们被采样的频率为1Hz,值是这样算出来的1024(Hz)/1024*1 = 1Hz,如果最大的值点是第8个点,那被采样频率是8Hz。不过要满足乃奎斯定律,即采样频率大于被采样频率的两倍。

为什么会有东西出现呢,主要是时域的信号好采样,至于频域的信号难以采样,于是傅里叶这个天才就发明了这个东东,不过这可是现代数字信号处理的基础。

闲话不说了,还是来看DFT的数学基础(下面的内容不少拷贝wiki)

对于复数序列x_{0},. x_{1},. ...,. x_{n-1},离散傅里叶变换公式为:

 y_j = .sum_{k=0}^{n-1} e^{-{2.pi.imath .over n} j k}x_k .qquad j = 0,1,.dots,n-1.

下面,我们用N次单位根WN来表示e^{-j.frac{2.pi}{N}}

WN的性质:

  1. 周期性WN具有周期N。
  2. 对称性W_{N}^{k+.frac{N}{2}}=-W_{N}^{k}
  3. W_{N}^{ikn}=W_{.frac{N}{i}}^{kn}

为了简单起见,我们下面设待变换序列长度n = 2r。 根据上面单位根的对称性,求级数y_k=.sum_{n=0}^{N-1} W_{N}^{kn}x_n时,可以将求和区间分为两部分:

.begin{matrix}y_k=.sum_{n=2i} W_{N}^{kn} x_n + .sum_{n=2i+1} W_{N}^{kn}x_n..= .sum_{i} W_{.frac{N}{2}}^{ki}x_{2i} + W_{N}^{k}.sum_{i} W_{.frac{N}{2}}^{ki}x_{2i+1}..= F_{even}(k) + W_{N}^{k}F_{odd}(k)&&&&&&(i.in.mathbb{Z}).end{matrix}

Fodd(k)Feven(k)是两个分别关于序列.left.{x_n.right.}_0^{N-1}奇数号和偶数号序列N/2点变换。由此式只能计算出yk的前N/2个点,对于后N/2个点,注意 Fodd(k)Feven(k) 都是周期为N/2的函数,由单位根的对称性,于是有以下变换公式:

  • y_{k+.frac{N}{2}} = F_{even}(k) - W_{N}^{k}F_{odd}(k)
  • y_k = F_{even}(k) + W_{N}^{k}F_{odd}(k)

这样,一个N点变换就分解成了两个N/2点变换。照这样可继续分解下去。这就是库利-图基快速傅里叶变换算法的基本原理。根据不难分析出此时算法的时间复杂度为O(NlogN)

三.8点快速傅里叶变换

主要是蝶形算法

FFT算法图



__no_init float fft_r[FFT_N]; //FFT输入实数序列,保存变换后的频域实部
__no_init float fft_i[FFT_N]; //
保存变换后的频域虚部
__no_init float harm[HARM_M+1]; //
各次谐波幅值
const Uint8 FFT_BIT[8]={ //
供完成倒位序排列使用的位定义
0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80};

  1. void fft(void)
  2. {
  3.     Uint16 i,j,k,L;
  4.     Uint16 b,c,p,n;
  5.     Uint8 x,xc;
  6.     float Gr,Gi,Wr,Wi; for(i=0;i<FFT_N;i++)
  7.     {
  8.         x =i;
  9.         xc=0;
  10.         for(j=0;j<FFT_M;j++)
  11.         {
  12.             if((x&0x01)!=0)
  13.             {
  14.                 xc|=FFT_BIT[(FFT_M-1)-j];
  15.             }
  16.             x>>=1;
  17.         }
  18.         fft_i[xc]=fft_r[i];
  19.     }
  20.     for(i=0;i<FFT_N;i++)
  21.     {
  22.         fft_r[i]=fft_i[i];
  23.         fft_i[i]=0;
  24.     }

  25. //以上是倒叙就是将数组中的数据进行倒叙,即将数组序号倒序,如FFT_BIT[5]存储到FFT_BIT[3],为什么呢?5 = 0x110,进行二进制倒转变为0x011,变为3.

  26.     for(L=1;L<=FFT_M;L++)
  27.     {
  28.         b=1;
  29.         p=FFT_N>>1;
  30.         for(i=0;i<L-1;i++)
  31.         {
  32.             b<<=1; //b=2^(L-1)
  33.             p>>=1; //p=N/(2^L)
  34.         }
  35.         c=b<<1; //c=b*2
  36.         for(j=0;j<b;j++)
  37.         {
  38.             n=p*j;
  39.             for(k=j;k<FFT_N;k+=c)
  40.             {
  41.                 Gr = fft_r[k];
  42.                 Gi = fft_i[k];
  43.                 Wr = Sinf[n+FFT_N/4]*fft_r[k+b] + Sinf[n]*fft_i[k+b];
  44.                 Wi = Sinf[n+FFT_N/4]*fft_i[k+b] - Sinf[n]*fft_r[k+b];
  45.                 fft_r[k] = Gr + Wr;
  46.                 fft_i[k] = Gi + Wi;
  47.                 fft_r[k+b] = Gr - Wr;
  48.                 fft_i[k+b] = Gi - Wi;
  49.             }
  50.         }
  51.     }
  52. }

//以上循环分为三个一个根据变换点的阶数循环,即上图中level1->level2->level3。第二个循环是group步进,level12  level 24 第三个循环是需要两两相乘数据之间的,如level1length1level2length2level3length4

关于旋转因子,就是cossin的值,不过这两者之间是可以互相转换的。

也许到此大家对于快速傅里叶有了大概的理解,下面数C++code,也是源于网上。这段code更好的描述的FFT的蝶形算法,值得参考。


  1. void FFT(unsigned long & ulN, vector<complex<double> >& vecList)

  2. {

  3.        //得到幂数

  4.        unsigned long ulPower = 0; //幂数

  5.        unsigned long ulN1 = ulN - 1;

  6.        while(ulN1 > 0)

  7.        {

  8.               ulPower++;

  9.               ulN1 /= 2;

  10.        }

  11.        //反序

  12.        bitset<sizeof(unsigned long) * 8> bsIndex; //二进制容器

  13.        unsigned long ulIndex; //反转后的序号

  14.        unsigned long ulK;

  15.        for(unsigned long p = 0; p < ulN; p++)

  16.        {

  17.               ulIndex = 0;

  18.               ulK = 1;

  19.               bsIndex = bitset<sizeof(unsigned long) * 8>(p);

  20.               for(unsigned long j = 0; j < ulPower; j++)

  21.               {

  22.                      ulIndex += bsIndex.test(ulPower - j - 1) ? ulK : 0;

  23.                      ulK *= 2;

  24.               }

  25.  

  26.               if(ulIndex > p)

  27.               {

  28.                      complex<double> c = vecList[p];

  29.                      vecList[p] = vecList[ulIndex];

  30.                      vecList[ulIndex] = c;

  31.               }

  32.        }

  33.        //计算旋转因子

  34.        vector<complex<double> > vecW;

  35.        for(unsigned long i = 0; i < ulN / 2; i++)

  36.        {

  37.               vecW.push_back(complex<double>(cos(2 * i * PI / ulN) , -1 * sin(2 * i * PI / ulN)));

  38.        }

  39.  

  40.        for(unsigned long m = 0; m < ulN / 2; m++)

  41.        {

  42.               cout<< "\nvW[" << m << "]=" << vecW[m];

  43.        }

  44.  

  45.        //计算FFT

  46.        unsigned long ulGroupLength = 1; //段的长度

  47.        unsigned long ulHalfLength = 0; //段长度的一半

  48.        unsigned long ulGroupCount = 0; //段的数量

  49.        complex<double> cw; //WH(x)

  50.        complex<double> c1; //G(x) + WH(x)

  51.        complex<double> c2; //G(x) - WH(x)

  52.        for(unsigned long b = 0; b < ulPower; b++)

  53.        {

  54.               ulHalfLength = ulGroupLength;

  55.               ulGroupLength *= 2;

  56.               for(unsigned long j = 0; j < ulN; j += ulGroupLength)

  57.               {

  58.                      for(unsigned long k = 0; k < ulHalfLength; k++)

  59.                      {

  60.                             cw = vecW[k * ulN / ulGroupLength] * vecList[j + k + ulHalfLength];

  61.                             c1 = vecList[j + k] + cw;

  62.                             c2 = vecList[j + k] - cw;

  63.                             vecList[j + k] = c1;

  64.                             vecList[j + k + ulHalfLength] = c2;

  65.                      }

  66.               }

  67.        }

  68. }

四.总结

FFT数字信号处理的重中之重。

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给主人留下些什么吧!~~

小雅贝贝2011-05-26 18:10:01

看不到图片啊。