浮点数存储格式及精度详解

浮点数在内存存储中都分为3个部分：

1）符号位(Sign)：0代表正，1代表为负；

2）指数位(Exponent)：用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储（移码表示）（需要加偏置值Bias）；

3）尾数部分（Mantissa）：（原码表示）

类型float大小为4字节，即32位，内存中的存储方式如下：

高地址<-------------------------------------->低地址

|  符号位  |     指数   |          尾数          |

|  1 bit  |    8 bit  |         23 bit         |

31<------>30<--------->22<---------------------->0

类型double大小为8字节，即64位，内存布局如下：

高地址<---------------------------------------->低地址

|  符号位  |      指数     |          尾数          |

|   1 bit |     11 bit   |         52 bit         |

63<------>62<------------>51<------------------>0

 

科学计数法存储数据：

如：

http://hi.baidu.com/lxsbupt/blog/item/55315b8b41623dd9fc1f1037.html

8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*10^0,而120.5可以表示为:1.205*10^2。对于计算机来讲，就是二进制的科学计数法：

8.25用二进制表示可表示为1000.01，120.5用二进制表示为：1110110.1。用二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.00001*2^3，1110110.1可以表示为1.1101101*2^6,任何一个数的科学计数法表示都为1.xxx*2^n, 尾数部分就可以表示为xxxx,第一位都是1，所以可以将小数点前面的1省略，故23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit，道理就是在这里。那24bit能精确到小数点后几位呢，我们知道9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使float能精确到小数点后6位。（为什么float与0比较，是与-0.000001到0.000001比较了）

对于指数部分比较特殊：

http://dev.firnow.com/course/3_program/c++/cppsl/2008626/128485.html

根据偏置指数e的值，被编码的浮点数可分成三种类型。

 (1)规格化数

 当有效数字M在范围1≤M＜2中且指数e的位模式e_k－1…e₁e₀既不全是0也不全是1时，浮点格式所表示的数都属于规格化数。这种情况中小数f（0≤f＜1 ) 的二进制表示为0. f_n－1…f₁f₀。有效数字M＝1＋f，即M＝1. f_n－1…f₁f₀ (其中小数点左侧的数值位称为前导有效位) 。我们总是能调整指数E，使得有效数字M在范围1≤M＜2中，这样有效数字的前导有效位总是1，因此该位不需显示表示出来，只需通过指数隐式给出。

需要特别指出的是指数E要加上一个偏置值Bias，转换成无符号的偏置指数e，也就是说指数E要以移码的形式在存放计算机中。且e、E和Bias三者的对应关系为e=E＋Bias，其中Bias=2^k－1－1。

(2)非规格化数

当指数e的位模式e_k－1…e₁e₀全为零（即e＝0）时，浮点格式所表示的数是非规格化数。这种情况下，E=1－Bais，有效数字M=f=0. f_n－1…f₁f₀ ，有效数字的前导有效位为0（0≤M＜1）。

非规格化数的引入有两个目的。其一是它提供了一种表示数值0的方法，其二是它可用来表示那些非常接近于0.0的数。

     (3)特殊数

当指数e的位模式e_k－1…e₁e₀全为1时，小数f的位模式f_n－1…f₁f₀全为0（即f=0）时，该浮点格式所表示的值表示无穷，s=0 时是＋∞，s=1时是－∞。

当指数e的位模式e_k－1…e₁e₀全为1时，小数f的位模式f_n－1…f₁f₀不为0（f_n－1、…、f₁、f₀、至少有一个非零即f≠0）时，该浮点格式所表示的值被称为NaN（Not a Number）。比如当计算 或∞－∞时用作返回值，或者用于表示未初始化的数据。

不同的类型偏置值（Bias）不一样。如下图：

由于偏置值的作用，实际的二进制科学计数的幂要加上127（单精度）才为实际存储的值（好多文章将这指数的存储解释为有符号数是不太准确的）。本来8位的指数位可以表示0-255，除掉非规格数和特殊数就是1-254，那么实际可以表示的指数范围就是-126~128。

所以：

下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式：

首先看下8.25，用二进制的科学计数法表示为:1.0001*clip_image002[2]

按照上面的存储方式，符号位为0，表示为正；指数位为3+127=130，位数部分为1.00001，故8.25的存储方式如下：

0xbffff380:    01000001000001000000000000000000

分解如下：0--10000010--00001000000000000000000

符号位为0，指数部分为10000010，尾数部分为00001000000000000000000

同理，120.5在内存中的存储格式如下：

0xbffff384:    01000010111100010000000000000000

分解如下：0--10000101--11100010000000000000000

那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你如何知道该数据的十进制数值呢？其实就是对上面的反推过程，比如给出如下内存数据：

01000001001000100000000000000000

第一步：符号位为0，表示是正数；

第二步：指数位为10000010，换算成十进制为130，所以指数为130-127=3；

第三步：尾数位为01000100000000000000000，换算成十进制为(1+1/4+1/64)；

所以相应的十进制数值为：2^3*(1+1/4+1/64)=8+2+1/8=10.125

 

当然，还有一个重要的问题就是浮点数的存储精度问题。这个问题也实际上就是小数在计算机中的二进制表示问题。例如0.2这个小数的表示，根据十进制小数到二进制小数的转换规则（即小数*2取整数部分直到余数为0），所以0.2是不能完全表示的（是一个无限循环排列，精度决定于尾数的位数。

http://hi.baidu.com/lxsbupt/blog/item/55315b8b41623dd9fc1f1037.html

总结：浮点数在内存中的存储表示是以2的负数次方来模拟和逼近的，如果浮点数的小数部分可以用二进制完美地表示，则浮点数转化为二进制存储的时候不会存在精度丢失，否则内存中的这种表示浮点数的方法将会导致浮点数的精度丢失，如上面的0.2；

关于浮点数与零的比较问题，我有一些自己的看法。标准的做法是：

const float EPSINON = 0.000001;

if ((x >= - EPSINON) && (x <= EPSINON))

浮点型变量并不精确，其中EPSINON是允许的误差（即精度），所以不可将float变量用“==”或“!=”与数字比较，应该设法转化成“>=”或“<=”形式。如果写成if （x == 0.0），则是错误的。

该网页中讲到：

1.0f在计算机中可能存为0.999999或1.00001等，很难恰好是1.0。

我不太理解这种说法，因为1.0如果按照IEEE754的规定是可以用二进制完美表示的，小数位并未形成无限循环啊？关于浮点数与零比较的问题，我觉得关键是在于浮点数不能用二进制完美表示所产生的运算误差，如：

若a, b 为 float， c 为 int ，a=2.00, b=0.01, c=200,

现在来计算 a-c*b 和 0 的大小时，我们这样判断：

if a-c*b <= 0 then

就是错误的。 因为这里b=0.01是不能完美二进制表示的，所以必然产生运算误差使得计算结果必然大于0。

经测试：

float a=50.00, b=0.25;

int c=200;

if((a-c*b)<=0)

cout << "ok"<< endl;

else

cout << "no" << endl;

输出ok。

所以应该是完美表示的问题，不是对所有的浮点数都是如此。