poj 1061 青蛙的约会(数论)

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解题思路

题意：

    略 

 

思路：

   根据题意，两个青蛙跳到同一个点上才算是遇到了，所以有 (x+m*t) - (y+n*t) = p * ll;  (t是跳的次数，ll是a青蛙跳的圈数跟b青蛙的圈数之差。整个就是路程差等于纬度线周长的整数倍)，

转化一下： (n-m) * t + ll * p = x – y;

令 a = n-m,  b = ll,  c = gcd(a, b),  d = x-y;

有 a * t + b * p = d;   (1)

要求的是t的最小整数解。

用扩展的欧几里德求出其中一组解t0 ,p0, 并令c = gcd(a, b);

有 a * t0 + b * p0 = c;  (2)

因为c = gcd(a, b), 所以 a * t / c是整数，b * t / c 也是整数，所以 d / c 也需要是整数，否则无解。

 (2)式两边都乘(d / c) 得 a * t0 *(d / c) + b * p0 * (d / c) = d;

 所以t0 * (d / c)是最小的解，但有可能是负数。

因为a * ( t0 *(d / c) + b*n) + b * (p0 * (d / c) – a*n) = d; (n是自然数)

所以解为 (t0 * (d / c) % b + b) % b;

还有一个问题，如何用扩展的欧几里德求出t0跟p0呢？

    对于不完全为0的非负整数a, b.  gcd(a, b)表示a, b 的最大公约数。那么存在整数x， y使得 gcd(a, b) = a * x + b * y;

不妨设a > b

① ，当b = 0 时，gcd(a, b) = a , 此时 x = 1, y = 0;

② ，当 a * b <> 0 时，

 设 a * x + b * y = gcd(a, b);   (1)

    b * x0 + (a % b) * y0 = gcd( b, a % b);   (2)

由朴素的欧几里德公式; gcd(a, b) = gcd (b, a % b);

得(1)，(2)  a * x + b * y = b * x0 + (a % b) * y0

                     = b * x0 + (a – a / b * b) * y0               

                     = a * y0 + ( x0 – a / b * y0 ) * b

          所以 x = y0, y = x0 – a / b * y0;

  由此可以得出扩展欧几里德的递归程序：

 

 

void extend_euild(int a, int b)
{
    if(b == 0)
    {
        t = 1;
        p = 0;
        c = a;
    }
    else {
        extend_euild(b, a%b);
        int temp = t;
        t = p;
        p = temp - a/b*p;
    }
}

源程序

 

#include <iostream>
using namespace std;

long long t, p, c;

void extend_euild(int a, int b)
{
    if(b == 0)
    {
        t = 1;
        p = 0;
        c = a;
    }
    else
    {
        extend_euild(b, a%b);
        int temp = t;
        t = p;
        p = temp - a/b*p;
    }
}

int main()
{
    int i, j, ok = 0, d, a, b;
    long long x, y, m, n, l;

    freopen("in.txt", "r", stdin);
    cin >> x >> y >> m >> n >> l;
    
    if(n == m)
        ok = 1;
    else{
        a = n-m;
        d = x-y;
        b = l;
        extend_euild(a, b);
        if(d % c !=0)
            ok = 1;
    }
    if(ok)
        cout << "Impossible" << endl;
    else
    {
        b = b / c;
        d = d / c;
        long long v = d * t;
        cout << (v%b+b)%b << endl;
    }

    getch();
    return 0;
}