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分类: LINUX

2009-11-13 10:25:41

  • chapter 1

    Fermat's little theorem

     费马小定理

     

    费马小定理说的是:如果p是一个素数,那么对于任意一个整数a,a p − a 能被p整除,也可以用模运算表示如下:

    a^p \equiv a \pmod{p}.\,\!(p是素数,a是整数)

    这个定理又如下变式:如果p是一个素数,且整数a与p互素,那么 a p−1 − 1 可以被p整除,用模运算表示如下

    a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.\,\! (p是素数,a是整数,a与p互素)、

    还有一种表述是:如果p是一个素数,a是一个整数且a不包含因数p,那么 a p−1 − 1 可以被p整除。

     

    费马小定理是费马素性测试的基础。

    费马在给出此定理的时候未给出证明,第一个证明其的人是Gottfried Leibniz。

     

    ————<对于费马小定理的证明>————

     

    对于费马小定理的证明十分多,大部分证明基于两个简化:

    1.我们可以假设0 ≤ ap − 1或1 ≤ ap ,这可以由以下同余定理简单推出

    \left\{ \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m} \\ c \equiv d\pmod{m} \end{matrix} \right.,则\left\{ \begin{matrix} a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m} \\ ac \equiv bd \pmod{m} \end{matrix} \right.

    且有特别的  若a \equiv b \pmod{m},则a^n \equiv b^n \pmod{m}

    2.事实上我们只要证明:

             在1 ≤ ap − 1有

    a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \quad \quad (X)
    若X在此时a的取值范围下成立的话,当a的0时,原始的式子就显然成立了(注意了,这样的两步化简还有效的避免了对“p与a互质”的讨论)

     



    ***关于费马小定理的一个奇妙而伟大的组合证明!!!***

     

    这是关于费马小定理最浅显易懂的,也是最奇妙的一个证明,叫做Proof by counting bracelets,创始人是Golomb,以下是完整的证明。

    已知:p是素数,a是整数且1≤ ap

    求证:a p − a 能被p整除

    证明:假设又一种由p个珠子组成的项链,项链中珠子的种数为最多为a,那么所有可能的不重复的排列为a p,其中种数为1的情况有a种,那么去除这些情况后一共就有a p− a种。现在吧所有情况的项链首尾相接,那么就有可能出现重复的情况了。因为p是素数,所以一个包含着p个珠子的环旋转后会出现p种不同的情况(这里就不证明了,即使不是像1+1=2那么显而易见,但也是很容易证明的),亦即,这a p− a种情况可以分为一些类,每类有p中情况,亦即,a p − a 能被p整除。             证毕

    补充:一下是a=2,p=5的情况
           
    AAABB, AABBA, ABBAA, BBAAA, BAAAB,
            AABAB, ABABA, BABAA, ABAAB, BAABA,
            AABBB, ABBBA, BBBAA, BBAAB, BAABB,
            ABABB, BABBA, ABBAB, BBABA, BABAB,
            ABBBB, BBBBA, BBBAB, BBABB, BABBB,
            AAAAA,
            BBBBB.
            以及,当p不为素数,比如当a=2,p=12时旋转后的一个反例
            ABBABBABBABB,
            BBABBABBABBA,
            BABBABBABBAB. ——>事实情况是3种而不是12种


    ~~~~~~~~~~费马小定理的一个拓展~~~~~~~~~~


    费马小定理在欧拉定理上得到了很好的拓展,那就是:

    a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n} 

    其中φ(n)表示欧拉函数,表示在1到n之间(包括1和n)与n互素的数的个数,这是一个更普遍的情况,当n=p时,其实就是费马小定理的变式了,因为此时φ(p)为p-1.


    chapter 2

    Fermat's primality test

     费马素性测试


    费马素性测试是判断一个数是否为素数的一个基于概率的测试。

    事实上,费马小定理的逆否定理成立,而费马小定理的逆定理是不成立的,

    而费马素性测试就是基于费马小定理的“逆定理”的。

    大概的算法描述是,当p为奇数时(偶数特判一下就行啦,不就一个2嘛)让a在1-p之间(包括1和p)选取随机值,如果等式不成立,那么p肯定不是素数,如果成立,那么p就有较大可能是素数,我们称他为伪素数。

    <<<>>>

    当然,费马素性测试是有极大缺陷的,因而基本上平时没有多大用武之地。一个缺陷就是Carmichael数的存在,

    Carmichael数是指如果一个数n可以通过所有‘a’值的费马素性测试却并非为素数,那么就叫n为Carmichael数。

    这样的数随着n的增大而越来越少的,这些数中,最小的一个是561.


    chapter 3

    Miller–Rabin primality test

    米勒-拉宾素性测试

     

    /***今天的重头戏来啦!!!*/


    米勒-拉宾素性测试和费马素性测试一样是一个基于概率的,判断一个数是否为素数的测试。 但是作为费马素性测试的升级产品,在速度上,米勒-拉宾测试有了质的飞跃,这也就是费马素性测试当前毫无用武之地的原因了。

    米勒-拉宾素性测试是当前运用最广泛的素性测试,且加上限制条件完全可以作为确定性算法。

     

    ######要讨论米勒-拉宾素性测试,首先得证明一条引理(lamma)#######

     

    若p是一个大于2的素数,那么如果一个数与1或者-1模n同余,那么它就叫做1模n的一个非平凡的平方根。

    而事实上,没有1模p的非平凡的平方根存在。

    证明:假设x是一个1模p的非平凡的平方根,那么就有:

    x^{2} \equiv 1\pmod{p}
    \left (x - 1 \right ) \left ( x + 1 \right ) \equiv 0\pmod{p}.

    因为x是非平凡的,就有(x+1)与(x-1)和x互质,就是说(x+1)和(x-1)都不能被p整除,因此(x+1)(x-1)不能被p整除,引出矛盾。

    因此,没有1模p的非平凡的平方根存在。                    证毕

     

    ————————关键的要来啦————————————


    现在我们让n为一个奇质数,而(n-1)可以表示为2s·d的形式其中s与d都为正整数,那么根据费马小定理

    点击查看原始尺寸、费马素性测试的原理,以及上面已经证明的引理可知,这个问题的关键就是,若x的平方模p为1,那么x模p得为-1或1,p才有可能为素数,否则必为合数。若x的平方模p为-1,那么x模p不作要求,那么对于任何一个 ,2r·d在r不断变化得过程中必须遵循上述的规则。这样就得出了米勒-拉宾素性测试的算法:

     

    %%%%%%%%米勒-拉宾素性测试的算法%%%%%%%%%%


    判断一个数p是否为素数(p首先得为大于等于2的正整数才有可能为素数),首先判奇偶,若为偶数只有2为素数,若为奇数(这里可以考虑去掉 3甚至5的倍数),则先求出d。对于每一个底a,让d不断乘以2直到为(p-1)/2,在此过程中(包括原本的d与d=(p-1)/2时的情况),设t为 a的d次方模p的余数,(1)当t=-1时跳出,声明p有可能为素数(2)当t=1时,若d为奇数,跳出声明p有可能为素数,否则跳出声明p必为合数 (3)当d=(p-1)/2时跳出,声明p必为合数。、

     

    ————————重要的要来啦————————————

     

    要判断n是否为素数,对于一定范围内的n,只要以一定范围内a为底就可以保证这是一个确定性算法了。下面详细:

    • if n < 1,373,653, it is enough to test a = 2 and 3.
    • if n < 9,080,191, it is enough to test a = 31 and 73.
    • if n < 4,759,123,141, it is enough to test a = 2, 7, and 61.
    • if n < 2,152,302,898,747, it is enough to test a = 2, 3, 5, 7, and 11.

    其中前三条应该是比较用的着的,尤其是第三条,和longint是一个数量级的!非常好用!!! 

     

    ::::::::::程序实现:::::::::::

     


    打印a到b之间(包括两端)的所有质数

    下面是一个包含两个外部接口的类,第一个接口(构造函数)是初始化a,b用的,第二个是执行函数。

    class Prime
    {
      public:
       Prime(long aa,long bb)
        {
         a=aa;b=bb;
        }
       void get_answer();
      protected:
       long a,b,d,t;
       bool check(long p);
       bool M_R(long long base,long num);
       long paw_mod(long long bs,long power,long diver);
    };

    void Prime::get_answer()
        {
          for(long i=a;i<=b;++i)
             if(check(i)) printf("%d\n",i);
        }
       
    bool Prime::check(long p)
        {

           if(((p&1)!=0)&&(p%3!=0)&&(p>2)&&M_R(2,p)&&((p<=7)||M_R(7,p))&&((p<=61)||M_R(61,p))||(p==2)||(p==3)) return true;
                                            else return false;
        }

    bool Prime::M_R(long long base,long num)
        {
           d=num-1;
           while((d&1)==0)
           {
             d=(d>>1);
           }

          if((paw_mod(base,d,num)==1)||(paw_mod(base,d,num)==num-1)) return true;
         else
         {
            t=(num-1)/2;
           while(d!=t)
           {
             d=(d<<1);
             if(paw_mod(base,d,num)==num-1) return true;
           }
           return false;     
          }       
        } 

    long Prime::paw_mod(long long bs,long power,long diver)
        {
         if(power==0) return(1);
          else if(power==1) return(bs);
           else if ((power&1)==0) return(paw_mod(bs*bs%diver,(power>>1),diver));
             else return(paw_mod(bs*bs%diver,power/2,diver)*bs%diver);
        }

    ————————————————————————————————————————

    至此结束。感谢观赏。

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