Bresenham算法

上回说到, 在看一本书《Windows游戏编程大师技巧》 (Tricks of Windows Game Programming Gurus). 这次继续书里的内容: 直线光栅化的Bresenham算法. 书上讲的比较含糊, 没有讲算法的推导过程, 更没讲算法是怎么想出来的. 所以我们只好自己动手, 丰衣足食…

直线光栅化

直线光栅化是指用像素点来模拟直线. 比如下图中用蓝色的像素点来模拟红色的直线. 图中坐标系是显示器上的坐标系: x轴向右, y轴向下.

设deltaX = endX – startX, deltaY = endY – startY. 那么斜率为k = deltaY / deltaX. 我们先考虑简单的情况: 当 0 < k < 1即直线更贴近x轴. 在这种情况下deltaY < deltaX, 所以在光栅化的过程中, 在y轴上描的点比在x轴上描点少. 那么就有一个很直观的光栅化算法:

line_bresenham(startX, startY, endX, endY)

{

    deltaX = endX - startX;

    deltaY = endY - startY;

    k = deltaY / deltaX;

    for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x)

    {

        if (满足一定条件)

        {

            ++y;

        }

        drawPixel(x, y);

    }

}

基于斜率 / 距离的两个简单直线光栅化算法

好了，貌似很简单, 就剩一个问题: “满足一定条件”是什么? 可以用斜率判断, 也可以用上图中直线与光栅线交点 (红点) 与光栅点 (蓝点) 的距离来判断. 继续用伪代码说话:

// 算法1: 用斜率判断

void line_bresenham_k(startX, startY, endX, endY)

{

    deltaX = endX - startX;

    deltaY = endY - startY;

    k = deltaY / deltaX;

    for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x)

    {

        if (x - startX != 0)

        {

            // 计算当前斜率

            currentK = (y - startY) / (x - startX);

            // 如果当前斜率 < k, 则增加y坐标

            if (currentK < k)

            {

                ++y

            }

        }

        drawPixel(x, y);

    }

}

// 算法2: 用距离判断. 计算直线与光栅线交点y坐标我们需要用到

// 直线方程 y = k (x - startX) + startY

line_bresenham_dist(startX, startY, endX, endY)

{

    deltaX = endX - startX;

    deltaY = endY - startY;

    k = deltaY / deltaX;

    for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x)

    {

        // 计算直线与光栅线交点的y坐标, 以及与光栅点的距离

        ptY = k * (x - startX) + startY;

        dist = ptY - y;

        // 如果距离 > 0.5或者 < -0.5, 说明我们需要增加y以

        // 将距离的绝对值控制在0.5之类

        if (dist > 0.5 || dist < -0.5)

        {

            ++y;

        }

        drawPixel(x, y);

    }

}

消灭浮点数!

以上都是很直观的算法, 下面不直观的来了 – 上面的算法都需要在循环体内执行乘法, 准确的说, 是进行浮点数的乘法. 我们怎么能减少这些浮点数的乘法开销呢? 以基于距离的算法2为例: 首先, k是一个浮点数, 0.5也是浮点数. 我们可以通过将这些表达式都乘以2 * deltaX (整数) 来解决浮点数的问题. 伪代码:

// 算法3: 在算法2的基础上消灭浮点数!

line_bresenham_dist(startX, startY, endX, endY)

{

    deltaX = endX - startX;

    deltaY = endY - startY;

    for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x)

    {

        // 计算直线与光栅线交点的y坐标, 以及与光栅点的距离

        ptY1 = deltaY * (x - startX) + startY * deltaX;

        dist1 = ptY1 - y * deltaX;

        dist1 = dist1 << 1; // dist1 = dist1 * 2

        // 如果距离 > 0.5或者 < -0.5, 说明我们需要增加y以

        // 将距离的绝对值控制在0.5之类

        if (dist1 > deltaX || dist < -deltaX)

        {

            ++y;

        }

        drawPixel(x, y);

    }

}

消灭乘法!

圆满解决浮点数运算问题! 不过…乘法运算还在. 消灭乘法问题的办法比较不直观, 让我们想一想: 还有什么办法能简化运算. 直线方程已经不能再简化, 所以唯一的突破口就是能不能利用递推 / 用上一次循环的计算结果推导下一次循环的计算结果.

首先我们来看看在算法2的基础上 (因为算法2计算红点蓝点之间的距离, 比较直观), 怎么通过第n – 1次循环计算出的dist值 (设为d1) 来推导出第n次循环的dist值 (设为d2). 先回顾一下: dist = 直线与光栅线交点的y坐标 – 相应光栅点的y坐标. 我们从几何上直观地考虑: 在第n次循环中, 我们先根据上一次循环所计算出来的d1, 暂时令d2 = d1 + k, 因为我们要保证-0.5 < d2 < 0.5, 而d1 + k满足d1 + k > –0.5, 所以我们只需要考虑当d1 + k > 0.5时, 我们需要将光栅点y坐标增加1, 并且将d2减去1. 显然, 设y1是第n – 1次循环中光栅点的y坐标, y2是第n次循环中光栅点的y坐标. 我们有
1) d2 = d1 + k –  (y2 – y1)
2) 当d1 + k > 0.5时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1
我们已经能根据上面的两个关系式写出算法, 不过为了消除乘法和浮点数, 我们将这两个关系式两端同时乘以2 * deltaX, 并且设e = 2 * deltaX * d, 则我们有
3) e2 =  e1 + 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)
4) 当e1 + 2 * deltaY > deltaX时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1
终于, 没有了乘法 (2 * deltaY在循环体外计算且被简化为左移一位的运算), 没有了浮点数, 根据关系式3) 和 4), 写出算法:

// 算法4: 在算法2, 3的基础上利用递推消灭乘法和浮点数!

line_bresenham(startX, startY, endX, endY)

{

    deltaX = endX - startX;

    deltaY = endY - startY;

    e = 0;

    deltaX2 = deltaX << 1;

    deltaY2 = deltaY << 1;

    drawPixel(startX, startY);

    for (x = startX + 1, y = startY; x <= endX; ++x)

    {

        // 关系式3) e2 =  e1 + 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)

        // 关系式4) 当e2 + 2 * deltaY > deltaX时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1

        e += deltaY2;

        if (e > deltaX)

        {

            e -= deltaX2;

            ++y;

        }

        drawPixel(x, y);

    }

}

消灭浮点数! 代数推导

上面递推关系的推导过程是从图形上”直观”地分析得来的, 但是不严密. 我们能不能形式化地证明关系式1), 2), 3), 4)呢? 因为关系式3), 4)和1), 2)能互相推导, 我们只证明3), 4)如下:

在算法3的基础上设第n – 1次循环计算出的dist1值为e1, 对应的y值为y1, 第n次循环计算出的dist1值为e2, 对应的y值为y2. 根据算法3,
dist1 = 2 * deltaY * (x – startX) + 2 * startY * deltaX – 2 * y * deltaX, 则
e2 – e1
= 2 * deltaY * (x – startX) + 2 * startY * deltaX – 2 * y2 * deltaX – [2 * deltaY * (x – 1 – startX) + 2 * startY * deltaX – 2 * y1 * deltaX ]
=  – 2 * y2 * deltaX + 2 * deltaY + 2 * y1 * deltaX
= 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)
所以e2 = e1 + deltaY – deltaX * (y2 – y1). 所以我们有关系式
1) e2 = e1 + 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)
2) –deltaX <  e1 < deltaX
3) –deltaX < e2 < deltaX
4)  y2 – y1 = 0 或者 1 
我们根据e1 + 2 * deltaY的取值范围进行讨论. 首先, 因为不等式6), 我们有
2 * deltaY – deltaX < e1 + 2 * deltaY < 2 * deltaY + deltaX

情况1: 如果2 * deltaY – deltaX < e1 + 2 * deltaY < deltaX, 则
2 * deltaY – deltaX – 2 * deltaX * (y2 – y1) < e2 < deltaX– 2 * deltaX * (y2 – y1) 
反证: 若y2 – y1 = 1, 则 2 * deltaY – deltaX – 2 * deltaX < e2 < deltaX – 2 * deltaX = -deltaX, 所以y2 – y1 = 1不成立. 即情况1中y2 = y1.

情况2:  如果 deltaX < e1 + 2 * deltaY < 2 * deltaY + deltaX, 则
deltaX – 2 * deltaX * (y2 – y1) < e2 < 2 * deltaY + deltaX – 2 * deltaX * (y2 – y1)
反证: 若y2 – y1 = 0, 则 deltaX < e2 < 2 * deltaY + deltaX 所以y2 – y1 = 0不成立. 即情况2中y2 = y1 + 1.

打了这么多字, 累…以上就是当0 < k < 1的情况, 剩余几种情况 (k > 1, –1 < k < 0, k < –1. 不要挑剔我不用”>=”这种符号…) 都可以通过简单的x, y交换以及正负交换来搞定.