Chinaunix首页 | 论坛 | 认证专区 | 博客 登录 | 注册

EricLiseo2register.blog.chinaunix.net

( ⊙o⊙ )哇

  • 博客访问: 1708591
  • 博文数量: 446
  • 博客积分: 7040
  • 博客等级: 少将
  • 技术积分: 4134
  • 用 户 组: 普通用户
  • 注册时间: 2009-06-17 13:03
个人简介

范德萨发而为

文章分类

全部博文(446)

文章存档

2017年(5)

2016年(19)

2015年(35)

2014年(20)

2013年(65)

2012年(48)

2011年(57)

2010年(152)

2009年(45)

微信关注

IT168企业级官微



微信号:IT168qiye



系统架构师大会



微信号:SACC2013

订阅
热词专题

分类: 大数据

PS:一直以来对SVD分解似懂非懂,此文为译文,原文以细致的分析+大量的可视化图形演示了SVD的几何意义。能在有限的篇幅把 这个问题讲解的如此清晰,实属不易。原文举了一个简单的图像处理问题,简单形象,真心希望路过的各路朋友能从不同的角度阐述下自己对SVD实际意义的理 解,比如 个性化推荐中应用了SVD,文本以及Web挖掘的时候也经常会用到SVD。

原文:We recommend a singular value decomposition

关于线性变换部分的一些知识可以猛戳这里  奇异值分解(SVD) --- 线性变换几何意义

奇异值分解( The singular value decomposition )

该部分是从几何层面上去理解二维的SVD:对于任意的 2 x 2 矩阵,通过SVD可以将一个相互垂直的网格(orthogonal grid)变换到另外一个相互垂直的网格。

我们可以通过向量的方式来描述这个事实: 首先,选择两个相互正交的单位向量 v1 v2, 向量Mv1Mv2 正交。

u1u2分别表示Mv1Mv2的单位向量,σ1 * u1 =  Mv1σ2 * u2 =  Mv2σ1σ2分别表示这不同方向向量上的模,也称作为矩阵 M 的奇异值。

这样我们就有了如下关系式

Mv1 = σ1u1 
Mv2 = σ2u2

我们现在可以简单描述下经过 M 线性变换后的向量 x 的表达形式。由于向量v1v2是正交的单位向量,我们可以得到如下式子:

x = (v1x) v1 + (v2x) v2

这就意味着:

Mx = (v1x) Mv1 + (v2x) Mv2 
Mx = (v1x) σ1u1 + (v2x) σ2u2

向量内积可以用向量的转置来表示,如下所示

vx = vTx

最终的式子为

Mx = u1σ1 v1Tx + u2σ2 v2Tx 
M = u1σ1 v1T + u2σ2 v2T

上述的式子经常表示成

M = UΣVT

u 矩阵的列向量分别是u1,u2 Σ 是一个对角矩阵,对角元素分别是对应的σ1σ2V 矩阵的列向量分别是v1,v2。上角标 T 表示矩阵 V 的转置。

   这就表明任意的矩阵 M 是可以分解成三个矩阵。V 表示了原始域的标准正交基,u 表示经过 M 变换后的co-domain的标准正交基,Σ 表示了V 中的向量与u 中 相对应向量之间的关系。(V describes an orthonormal basis in the domain, and U describes an orthonormal basis in the co-domain, and Σ describes how much the vectors in V are stretched to give the vectors in U.)

如何获得奇异值分解?( How do we find the singular decomposition? )

   事实上我们可以找到任何矩阵的奇异值分解,那么我们是如何做到的呢?假设在原始域中有一个单位圆,如下图所示。经过 M 矩阵变换以后在co-domain中单位圆会变成一个椭圆,它的长轴(Mv1)和短轴(Mv2)分别对应转换后的两个标准正交向量,也是在椭圆范围内最长和最短的两个向量。

换句话说,定义在单位圆上的函数|Mx|分别在v1v2方向上取得最大和最小值。这样我们就把寻找矩阵的奇异值分解过程缩小到了优化函数|Mx|上了。结果发现(具体的推到过程这里就不详细介绍了)这个函数取得最优值的向量分别是矩阵 MT M 的特征向量。由于MTM是对称矩阵,因此不同特征值对应的特征向量都是互相正交的,我们用vi 表示MTM的所有特征向量。奇异值σi = |Mvi| , 向量 ui Mvi 方向上的单位向量。但为什么ui也是正交的呢?

推倒如下:

σiσj分别是不同两个奇异值

Mvi = σiui 
Mvj = σjuj.

我们先看下MviMvj,并假设它们分别对应的奇异值都不为零。一方面这个表达的值为0,推到如下

Mvi Mvj = viTMT Mvj = vi MTMvj = λjvi vj = 0

另一方面,我们有

Mvi Mvj = σiσj ui uj = 0

因此,uiuj是正交的。但实际上,这并非是求解奇异值的方法,效率会非常低。这里也主要不是讨论如何求解奇异值,为了演示方便,采用的都是二阶矩阵。

应用实例(Another example)

现在我们来看几个实例。

实例一

经过这个矩阵变换后的效果如下图所示

在这个例子中,第二个奇异值为 0,因此经过变换后只有一个方向上有表达。

M = u1σ1 v1T.

换句话说,如果某些奇异值非常小的话,其相对应的几项就可以不同出现在矩阵 M 的分解式中。因此,我们可以看到矩阵 M 的秩的大小等于非零奇异值的个数。

实例二

我们来看一个奇异值分解在数据表达上的应用。假设我们有如下的一张 15 x 25 的图像数据。

如图所示,该图像主要由下面三部分构成。

我们将图像表示成 15 x 25 的矩阵,矩阵的元素对应着图像的不同像素,如果像素是白色的话,就取 1,黑色的就取 0. 我们得到了一个具有375个元素的矩阵,如下图所示

如果我们对矩阵M进行奇异值分解以后,得到奇异值分别是

σ1 = 14.72
σ2 = 5.22
σ3 = 3.31

矩阵M就可以表示成

M=u1σ1 v1T + u2σ2 v2T + u3σ3 v3T

vi具有15个元素,ui 具有25个元素,σi 对应不同的奇异值。如上图所示,我们就可以用123个元素来表示具有375个元素的图像数据了。

实例三

减噪(noise reduction)

前面的例子的奇异值都不为零,或者都还算比较大,下面我们来探索一下拥有零或者非常小的奇异值的情况。通常来讲,大的奇异值对应的部分会包含更多的信息。比如,我们有一张扫描的,带有噪声的图像,如下图所示

我们采用跟实例二相同的处理方式处理该扫描图像。得到图像矩阵的奇异值:

σ1 = 14.15
σ2 = 4.67
σ3 = 3.00
σ4 = 0.21
σ5 = 0.19
...
σ15 = 0.05

很明显,前面三个奇异值远远比后面的奇异值要大,这样矩阵 M 的分解方式就可以如下:

M  u1σ1 v1T + u2σ2 v2T + u3σ3 v3T

经过奇异值分解后,我们得到了一张降噪后的图像。

实例四

数据分析(data analysis)

我们搜集的数据中总是存在噪声:无论采用的设备多精密,方法有多好,总是会存在一些误差的。如果你们还记得上文提到的,大的奇异值对应了矩阵中的主要信息的话,运用SVD进行数据分析,提取其中的主要部分的话,还是相当合理的。

作为例子,假如我们搜集的数据如下所示:

我们将数据用矩阵的形式表示:

经过奇异值分解后,得到

σ1 = 6.04
σ2 = 0.22

由于第一个奇异值远比第二个要大,数据中有包含一些噪声,第二个奇异值在原始矩阵分解相对应的部分可以忽略。经过SVD分解后,保留了主要样本点如图所示

就保留主要样本数据来看,该过程跟PCA( principal component analysis)技术有一些联系,PCA也使用了SVD去检测数据间依赖和冗余信息.

总结(Summary)

   这篇文章非常的清晰的讲解了SVD的几何意义,不仅从数学的角度,还联系了几个应用实例形象的论述了SVD是如何发现数据中主要信息的。在 netflix prize中许多团队都运用了矩阵分解的技术,该技术就来源于SVD的分解思想,矩阵分解算是SVD的变形,但思想还是一致的。之前算是能够运用矩阵分解 技术于个性化推荐系统中,但理解起来不够直观,阅读原文后醍醐灌顶,我想就从SVD能够发现数据中的主要信息的思路,就几个方面去思考下如何利用数据中所 蕴含的潜在关系去探索个性化推荐系统。也希望路过的各位大侠不吝分享呀。


References:

Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications. Brooks Cole

William H. Press et al, Numercial Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press.

Dan Kalman, A Singularly Valuable Decomposition: The SVD of a Matrix, The College Mathematics Journal 27 (1996), 2-23.

If You Liked This, You're Sure to Love That, The New York Times, November 21, 2008.


http://blog.sciencenet.cn/blog-696950-699432.html

阅读(35273) | 评论(1) | 转发(2) |
给主人留下些什么吧!~~

mage11202014-11-02 16:22:10

这个解释的太好了,对图像处理的理解有很大作用

评论热议
请登录后评论。

登录 注册