贪心策略的理论基础——拟阵

我曾一直肤浅的认为贪心算法是没有什么理论基础来支撑的，是有局部最优解而导致可能的整体最优解，可是最近看了拟阵和贪心的相关，才知道，拟阵理论是贪心策略的理论基础.....

拟阵

拟阵是满足下列条件的一个序对M=(S,I)；

1）S是一个有穷的集合。

2）I是S的一类具有遗传性质的非空子集族。遗传性质定义为：如果B∈I且A⊂B，那么A∈I。即若B∈I，则B是S的独立子集（独立子集的定义），且B的任意子集也都是S的独立子集。空集必为I的成员。注意，I是集合的集合。

3）I满足交换性质。交换性质定义为，若A∈I，B∈I且|A|<|B|，则存在某一元素x∈B-A，使得A∪{x}属于I。（这条性质给了我们已知集合B，构造集合A的方法。而性质2暗示了我们已知集合B，找出其子集的性质的办法）

下面是一个拟阵的例子：

无向图G=(V,E)的拟阵，定义为M[G]=(S[G],I[G])。

*集合S[G]定义为E，即G的边集。

*如果A是E的子集，而且A是无回路的，则A属于IG。亦即，一组边A是独立的当且仅当子图G[A]=（V，A）构成了一个森林。

下面证明M[G]是一个拟阵。

1）显然S[G]=E是一个有穷集合。

2）I[G]是遗传的。对于任意的B∈I[G]，A⊂B，边集A都∈I[G]，原因是从无环的一组边中去掉一些边并不会产生出回路。

3）具有k条边的森林恰好包含|V|-k棵树。若G[A]=(V,A)和G[B]=(V,B)是G的森林，且|B|>|A|，则G[A]中有|V|-|A|棵树，G[B]中有|V|-|B|棵树。由于G[B]中的树比G[A]中的树要少，必有边e(u,v)∈G[B]，！∈G[A]而且连接G[A]中的两棵树。将e添加进A，不会产生回路。A∪{e}∈I。

命题得证。

给定拟阵M=(S,I)，对于I中的独立子集A∈I，若S有一元素x！∈A，使得将x加入A中仍保持独立性，即A∪{x}∈I，则称x为A的可扩展元素。当拟阵M中的独立子集A没有可扩展元素时，即A不被M中别的独立子集所包含时。称A为极大独立子集。类似于极大线性无关组的证明，所有的极大独立子集具有相同的势。

若对拟阵M=(S,I)中的S指定权函数W，使得对于任意x∈S，有W(x)>0，则称拟阵M为带权拟阵。依此权函数，对于S的子集A有W(A)=Σ(x∈A)W(x)。

适宜用贪心方法获得最优解的许多问题，都可以归结为在加权矩阵中找出一个具有最大权值的独立子集问题。因为任意元素的权值都是正的，故找出的最优子集同时也是最大子集。下面是求带权拟阵最优子集的贪心算法。

GREEDY( M , W )

A<-空集

将S中的元素按照权值W大优先组织成一个优先队列。

While ( S不为空 )

   x = GetMax( S ) ;

    if ( A ∪ {x} ∈ I）

     A = A ∪ {x} ;

return A

这个算法排序的时间为O(NlogN)，共判断N次，设判断复杂度为f(N)，则整个算法运行时间为O(NlogN+Nf(N))

下面证明算法GREEDY返回的是一个最优子集。

引理1（拟阵具有贪心选择性质）

假设M=(S,I)是一个具有权函数W的加权拟阵，且S被按权值的单调减顺序排列。设x是S的第一个使{x}独立的元素。如果x存在，则存在S的一个包含x的最优子集A

引理2 设M=(S,I)为任意一个拟阵。如果x是S的任意元素，是S的独立子集A的一个可扩展元素，那么x也必然是空集的一个可扩展元素。

推论 设M=(S,i)为任意一个矩阵。如果x不是空集的可扩展元素，那么x也不会是S的任意独立子集A的一个可扩展元素。（这个推论说明了任何元素如果不能被立即用到，则以后也绝不会被用到。所以，在开始时，对S中的那些不是空集的可扩展元素的略过没有漏掉解）

引理3（拟阵具有最优子结构性质）

设x为S中被作用于加权拟阵M=(S,I)的GREEDY算法第一个选择的元素。找一个包含x的具有最大权值的独立子集问题，可以化归为找出加权矩阵M'=(S',I')的一个具有最大权值的独立子集问题，此处

S'={y∈S|{x,y}∈I}

I'={B⊂S-{x}|B∪{x}∈I}

其中，M'权函数为受限于S'的M的权函数（即M的由x引起的收缩）。

故可得定理，GREEDY返回最优子集。

首先，开始时被略去的不是空集的元素不予考虑（推论）。一旦选择了第一个元素x，将它加入A是正确的（引理1）。最后，余下的问题就是一个在M的由x引起的收缩M'中寻找一个最优子集问题（引理3）。在过程GREEDY将A置为{x}后，余下的各步骤都可解释为是在拟阵M'=(S',I')中进行的。因为B在M'中是独立的，当且仅当B∪{x}在M中是独立的，其中B为任意属于I'的集合。这样，GREEDY的后续操作就会找出M'中的一个具有最大权值的独立子集。而GREEDY的全部操作就可找出M的一个具有最大权值的独立子集。

应用拟阵思想，便可建立了贪心策略的理论基础，还好，终于对贪心有了更新的认识...