點陣與等冪和恆等式

 

 

　　等冪和數組有很多美妙性質，等冪和恆等式亦然。最近筆者重翻舊日的研究筆記，覺得當時有些思路可以稍加整理及發展。

 

　　本篇文字會集中介紹筆者過去使用過的「點陣」方法。如下圖，是一個有具體數字標示的「點陣」。

 

 

　　在這「點陣」上，任取能形成一個正常三角形的三點，比如是３，７，８，將之轉記成置換形式（378），於是我們便能據此寫成一個二次等冪和恆等式：

 

　　(3a+7b)^n+(7a+8b)^n+(8a+3b)^n=(7a+3b)^n+(8a+7b)^n+(3a+8b)^n

這兒n=1或2。

 

上式即使單用肉眼看，也能看出恆等式是必然成立的！為簡潔，像上式這種模樣的恆等式式子，就只以（3，7，8）^2來記述。

 

　　可見，有理由肯定，在這點陣上任取三點p、q、r，便可有（p，q，r）^2。

 

　　其實，在這點陣上，任取四個能形成正方形或長方形的點，則必能據之寫成一個三次等冪和恆等式。比如我們會有（1，7，9，3）^3、（1，10，11，2）^3等。

 

　　從以上所述，不免會生遐想：那麼在這個點陣上，能否有某「五邊形」可寫出四次等冪和恆等式？能否有某「六邊形」能寫出五次等冪和恆等式？諸如此類？

 

　　據筆者的研究，可寫出四次等冪和恆等式的「五邊形」，尚未發現。然而能寫出五次等冪和恆等式的「六邊形」，卻確實存在的！

 

　　實例：

（1，4，8，9，6，2）^5

（1，7，15，17，11，3）^5

（1，10，22，25，16，4）^5

看看這些點在「點陣」上所形成的恰恰就是「六邊形」。然而，卻不是凡能形成「六邊形」的六點，都必然能寫出五次等冪和恆等式的。

 

　　比如說（4，7，11，9，6，2），是能形成「六邊形」的六個點，但它實際上只能寫出三次等冪和恆等式，次數上是達不到五次的。即只有（4，7，11，9，6，2）^3。

 

　　不過，另一方面，通過平移和嫁接的方法，可以製造出看來面貌較不同的五次等冪和恆等式。這兒只展示一個通過平移和嫁接的方法炮製出來的結果：

（4，7，11，12，16，17，14，10，9，5）^5

請留意是以「點陣」上哪些點構成的。

 

　　上述的等冪和恆等式，憑藉的是一個有具體數字標示的「點陣」，假如「點陣」換一種模式，比如像下圖那個換成有兩個變元的模式的，上述那些「定理」仍可照套並且依然能成立的，可是變數是更多更大了！

 

 

　　以下還是繼續採用那個有具體數字標示的「點陣」，發掘更多潛在的可能。比如，我們明顯有下列兩種二次等冪和恆等式（留意它們在「點陣」上的位置）。

（2，9，4）^2

（8，1，6）^2

卻原來，把二者併合起來，乃是五次等冪和恆等式，且記為：

[（2，9，4）^2（8，1，6）^2]^5

命a=1，b=10，

便得出下述兩個數組：

29,94,42,81,16,68

92,49,24,18,61,86

這兩組數是五次等冪和關係。

 

末了，介紹一個七次等冪和恆等式，它是由四個三次等冪和恆等式併合起來的：

[A．B．C．D]^7

 

其中

A=（1，10，16，7）^3

B=（2，3，15，14）^3

C=（5，8，12，9）^3

D=（4，6，13，11）^3

 

這四個三次等冪和式子可記在下面的「點陣」中，十六個「點」全使用上，不重不漏，甚是奇妙！也惹人遐思。

 

此外，這四個能組成七次等冪和恆等式的三次等冪和恆等式，還可以構成連環等冪和恆等式。為了直觀，以下寫出一個顯式：

（203, 315,1514,1402,508,812,1209,905）

（302,1503,1415,214,805,1208,912,509）

（110,1016,1607,701,406,613,1311,1104）

（1001,1610,716,107,604,1306,1113,411）

 

這四組數，一次方和都是6868，二次方和都是7596348，三次方和都是9440656648。