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粵語歌文化歷史研究者,喜歡鑽研文字與音樂的創作,也喜愛數學與棋藝等等。

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分类: IT职场

2013-10-16 08:57:13

 

 

  等冪和數組有很多美妙性質,等冪和恆等式亦然。最近筆者重翻舊日的研究筆記,覺得當時有些思路可以稍加整理及發展。

 

  本篇文字會集中介紹筆者過去使用過的「點陣」方法。如下圖,是一個有具體數字標示的「點陣」。

 

 

  在這「點陣」上,任取能形成一個正常三角形的三點,比如是3,7,8,將之轉記成置換形式(378),於是我們便能據此寫成一個二次等冪和恆等式:

 

  (3a+7b)^n+(7a+8b)^n+(8a+3b)^n=(7a+3b)^n+(8a+7b)^n+(3a+8b)^n

這兒n=12

 

上式即使單用肉眼看,也能看出恆等式是必然成立的!為簡潔,像上式這種模樣的恆等式式子,就只以(378^2來記述。

 

  可見,有理由肯定,在這點陣上任取三點pqr,便可有(pqr^2

 

  其實,在這點陣上,任取四個能形成正方形或長方形的點,則必能據之寫成一個三次等冪和恆等式。比如我們會有(1793^3、(110112^3等。

 

  從以上所述,不免會生遐想:那麼在這個點陣上,能否有某「五邊形」可寫出四次等冪和恆等式?能否有某「六邊形」能寫出五次等冪和恆等式?諸如此類?

 

  據筆者的研究,可寫出四次等冪和恆等式的「五邊形」,尚未發現。然而能寫出五次等冪和恆等式的「六邊形」,卻確實存在的!

 

  實例:

148962^5

171517113^5

1102225164^5

看看這些點在「點陣」上所形成的恰恰就是「六邊形」。然而,卻不是凡能形成「六邊形」的六點,都必然能寫出五次等冪和恆等式的。

 

  比如說(4711962),是能形成「六邊形」的六個點,但它實際上只能寫出三次等冪和恆等式,次數上是達不到五次的。即只有(4711962^3

 

  不過,另一方面,通過平移和嫁接的方法,可以製造出看來面貌較不同的五次等冪和恆等式。這兒只展示一個通過平移和嫁接的方法炮製出來的結果:

4711121617141095^5

請留意是以「點陣」上哪些點構成的。

 

  上述的等冪和恆等式,憑藉的是一個有具體數字標示的「點陣」,假如「點陣」換一種模式,比如像下圖那個換成有兩個變元的模式的,上述那些「定理」仍可照套並且依然能成立的,可是變數是更多更大了!

 

 

  以下還是繼續採用那個有具體數字標示的「點陣」,發掘更多潛在的可能。比如,我們明顯有下列兩種二次等冪和恆等式(留意它們在「點陣」上的位置)。

294^2

816^2

卻原來,把二者併合起來,乃是五次等冪和恆等式,且記為:

[294^2816^2]^5

a=1b=10

便得出下述兩個數組:

29,94,42,81,16,68

92,49,24,18,61,86

這兩組數是五次等冪和關係。

 

末了,介紹一個七次等冪和恆等式,它是由四個三次等冪和恆等式併合起來的:

[A.B.C.D]^7

 

其中

A=110167^3

B=231514^3

C=58129^3

D=461311^3

 

這四個三次等冪和式子可記在下面的「點陣」中,十六個「點」全使用上,不重不漏,甚是奇妙!也惹人遐思。

 

此外,這四個能組成七次等冪和恆等式的三次等冪和恆等式,還可以構成連環等冪和恆等式。為了直觀,以下寫出一個顯式:

203, 315,1514,1402,508,812,1209,905

302,1503,1415,214,805,1208,912,509

110,1016,1607,701,406,613,1311,1104

1001,1610,716,107,604,1306,1113,411

 

這四組數,一次方和都是6868,二次方和都是7596348,三次方和都是9440656648

 

 

 

   


 

 

 














 
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