粵語歌文化歷史研究者，喜歡鑽研文字與音樂的創作，也喜愛數學與棋藝等等。
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2006-02-28 08:10:29
首先要說明，這裡只是借用置換記號，實際上與置換的數學概念關係不大。
現在先以實例說明一些簡單的情況，以展示怎樣用置換記號來表示某種類型的等冪和恆等式。
例：
置換記號(1, 5, 6)2 是表示下述Ａ、Ｂ兩組數式是二次等冪和關係：
Ａ組── a+5b,
Ｂ組──
置換記號(1, 2, 4, 3)3 是表示下述Ａ’和Ｂ’兩組數式是三次等冪和關係：
Ａ’組── a+2b,
Ｂ’組──
這樣記述，好處除了是方便簡潔之外，其實也很方便觀察這類型等冪和恆等式的特性及規律。比方說，我們至少就很快據此寫出從上述兩對數組的關係得來的回文等冪和數組（第一行是二次的，第二行是三次的）：
15, 56, 61 16, 65, 51
12, 24, 43, 31 13, 34, 42, 21
由於這些置換裡的元素其實是二項代數式的系數，所以下面會稱之為置換裡的系數，而不喚作置換裡的元素。
以下是兩條顯而易見的定理（不過第二條證明起來頗有難度呢）：
定理一
K1, K2, … Kn都是正整數，那麼由置換記號（K1, K2, … Kn）構成的兩組數式，其關係至少是二次等冪和。
定理二
K1, K2, … K2n都是正整數，ｎ≧ｉ，如果對於任一 i，Ki 加 K（n+i）恆等於一個常數，則由置換記號（K1, K2, … K2n）構成的兩組數式，其關係至少是三次等冪和。
一 四次及五次等冪和恆等式
右述的是一個形式很簡潔的四次等冪和恆等式：(154326)4，也就是說，我們還有四次回文等冪和數組：
15, 54, 43, 32, 26, 61 16, 62, 23, 34, 45, 51
對於五次等冪和，使用置換記號，我們可以很清楚的看到有一大類的五次等冪和恆等式其實是由兩個二次等冪和恆等式併合而成的！下面是兩個實例：
[(2, 7, 6)2(8, 3, 4)2]5
[(2, 9, 4)2(8, 1, 6)2]5
以第一個置換記號為例，它是表示：(2, 7, 6)2和(4, 3, 8)2這兩對二次等冪和恆等式，併合起來是五次等冪和恆等式。以它所能構成的回文數組來說明，也就是
27, 76, 62 26, 67, 72是二次等冪和數組
83, 34, 48 84, 43, 38是二次等冪和數組
兩對數組合併後得的兩個新數組：27, 76, 62, 83, 34, 48 26, 67, 72, 84, 43, 38則是五次等冪和數組。（按：由於2, 7, 6與4, 3, 8也是二次等冪和數組，所以27, 76, 62與83, 34, 48亦是二次等冪和的關係！）
要是留意一下，2, 7, 6與8, 3, 4以及2, 9, 4與8, 1, 6在三階幻方裡所處的位置，那就更有意思了！
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9 |
4 |
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7 |
5 |
3 |
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6 |
1 |
8 |
二 六次等冪和恆等式
下面是我所找到的其中兩個：
[(0, 8, 4, 5, 1, 9)2(3, 4, 7)2(2, 3, 6)2(2, 5, 6, 7)2]6
[(4, 5, 10)2(1, 10, 6, 2, 11)2(2, 7, 8, 9, 3, 4, 8)2]6
第一個恆等式裡，由於所有系數都小於10，也就是說我們可從中得到一對六次回文等冪和數組：
08, 19 ,23, 25, 34, 36, 45, 47, 51, 56, 62, 67, 72, 73, 84, 90
80, 91, 32, 52, 43, 63, 54, 74, 15, 65, 26, 76, 27, 37, 48, 09
而從置換記號所顯示的結構，它可分割為四對二次回文等冪和數組：
第一組：08, 19, 45, 51, 84, 90
80, 91, 54, 15, 48, 09
第二組：25, 56, 67, 72
52, 65, 76, 27
第三組：23, 36, 62
32, 63, 26
第四組：34, 47, 73
43, 74, 37
三 七次等冪和恆等式
接下來介紹的是可以用置換記號顯示的七次等冪和恆等式。首先介紹的一個是項數較少的，等式兩邊各有十二個一次二項式：
[(1, 8, 13, 6)3(2, 3, 12, 11)3(4, 5, 10, 9)3]7
由於高次等冪和恆等式的結構都比較複雜冗長，所以需要一些更簡潔的表示法。即以剛展示過的這個七次等冪和恆等式，個人會選擇下面的記法：
Ａ＝(1, 8, 13, 6)3
Ｂ＝(2, 3, 12, 11)3
Ｃ＝(4, 5, 10, 9)3
而我們有(Ａ．Ｂ．Ｃ)7
也就是說，這裡是由三個三次等冪和恆等式併合成一個七次等冪和恆等式。
下述的則是由四個三次等冪和恆等式併合成一個七次等冪和恆等式：
Ｗ＝(1, 10, 16, 7)3
Ｘ＝(2, 3, 15,14)3
Ｙ＝(5, 8, 12, 9)3
Ｚ＝(4, 6, 13, 11)3
而我們有(Ｗ．Ｘ．Ｙ．Ｚ)7
這個由四個三次等冪和恆等式併合而成的七次等冪和恆等式，頗有一些美妙之處。比方說，它可以跟下述的著名四階幻方似乎有所聯繫，看看Ｗ、Ｘ、Ｙ、Ｚ這四個三次等冪和恆等式的系數與這個幻方裡不同色組的數的關係，就知道了！
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11 |
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14 |
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15 |
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13 |
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12 |
01 |
再說，這四階幻方裡，青綠組與粉紅組的數併合起來共八個數：
1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16
淺灰組與灰綠組的數併合起來也共是八個數：
2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15
而這兩組數恰是三次等冪和的關係。這其實是意味著有
(Ｗ．Ｚ)3＝(Ｘ．Ｙ)3
也就是說，這個七次等冪和，其實還可分解為四個三次等冪和數鏈（個人愛稱之為連環等冪和）。我們且代入具體數字來作具體一些的說明吧。以a＝1，b＝3代入恆等式，然後全式所有數字減去９，則會得到下面四個數組：
0, 14, 15, 23, 27, 35, 36, 50
1, 13, 14, 22, 28, 36, 37, 49
2, 11, 15, 20, 30, 35, 39, 48
4, 9, 13, 22, 28, 37, 41, 46
它們的一次冪和都是200，二次冪和都是6700，三次冪和都是252500。可見這四組數是三次等冪和數鏈，或是屬於筆者所稱的連環等冪和。
接下來，我們將第一行和第四行合併，第二行和第三行合併，並將合併後的兩組數裡重覆的數字刪除，則各自餘下八個數：
0, 4, 9, 23, 27, 41, 46, 50
1, 2, 11, 20, 30, 39, 48, 49
事實上，這十六個數就是迄今所知最小的一對七次等冪和數組！更富於趣味的是，據李鐵木在《數學與美學》（地震出版社，頁74~75）一書所指出，這十六個數又可以構成一個廣義的四階幻方呢：
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30 |
46 |
1 |
23 |
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50 |
2 |
9 |
39 |
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0 |
48 |
41 |
11 |
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20 |
4 |
49 |
27 |
這個四階幻方，按行、按列、以至按兩條主對角線方向相加各數，其和都等於100。
四 九次等冪和恆等式
Ｅ＝(0, 6, 20, 31, 25, 26, 35, 36, 30, 16, 5, 11, 10, 1)5
Ｆ＝(3, 13, 28, 33, 23, 8)5
換句話說，G. Tarry這個九次等冪和恆等式，乃是由兩個五次等冪和恆等式併合而成的，倒不知G. Tarry本人知不知道有這樣的內部結構。
筆者也用升冪法得到兩個九次等冪和恆等式，而且都使用過
首先說說項數較少的： (P．Q．R)9 ，其中
Ｐ＝(3, 12, 17, 8)3
Ｑ＝[(3, 18, 13, 4)(2, 7, 14, 13, 6, 7, 16, 17)]3
Ｒ＝(1, 14, 15, 4, 11, 8, 19, 6, 5, 16, 9, 12)3
這個恆等式，是由三個三次等冪和恆等式併合成九次等冪和恆等式，而恆等式裡，有些系數是重覆出現的，而下面的一個，雖然兩邊各有64個二項，但系數卻沒有重覆，剛巧從1至64齊全：{(α．β．γ．π)5(μ．λ)5}9 其中
α＝[(1, 58, 16, 55)(64, 7, 49, 10)]3
β＝[(5, 56, 12, 57)(60, 9, 53, 8)]3
γ＝[(4, 54, 13, 59)(61, 11, 52, 6)]3
π＝[(2, 51, 15, 62)(63, 14, 50, 3)]3
μ＝[(17, 23, 32, 26)3(34, 46, 47, 35)3(36, 43, 45, 38)3(40, 37, 41, 44)3]4
λ＝[(33, 39, 48, 42)3(18, 30, 31, 19)3(20, 27, 29, 22)3(21, 25, 28, 24)3]4
這個九次等冪和恆等式，內部結構複雜之中又頗見秩序井然，可見造化之神奇！詳言之，α、β、γ、π是四個三次等冪和恆等式，併合後是五次等冪和恆等式；μ和λ各自是由四個三次等冪和恆等式併合成的四次等冪和恆等式，而μ與λ併合則成為五次等冪和恆等式，最後，它們的總合併構成一個九次等冪和恆等式！
五 有待研究的問題
其一
從上述各節的介紹可知，六次及以上的等冪和恆等式，都是由若干個次數較低的等冪和恆等式併合而成的，即是可以分割（解）的，而不可以分割（解）的，卻沒有見過，那麼，六次及以上的等冪和恆等式，會否存在不可分割的情況的呢？
其二
如果其一的問題的答案是否定的話，那就意味六次及以上的等冪和恆等式必定是由若干個次數較低的等冪和恆等式併合而成的，按實際的觀察，五次以上的時候，往往是由至少低四次的等冪和恆等式來併合的，如二次併合出六次，三次併合出七次，五次併合出九次，這是否必然如此呢？
其三
從上述各節可知，我們有
[(2, 7, 6)2(8, 3, 4)2]5
[(1, 8, 13, 6)3(2, 3, 12, 11)3(4, 5, 10, 9)3] 7
第一個是由兩個二次等冪和恆等式併合而成的五次等冪和恆等式。而每邊各有三個二項式是二次等冪和恆等式裡最少的。
第二個是由三個三次等冪和恆等式併合而成的七次等冪和恆等式。而每邊各有四個二項式是三次等冪和恆等式裡最少的。照這樣推想，看來應存在一類可由四個五次等冪和恆等式併合而成的九次等冪和恆等式，而這些五次等冪和恆等式每邊各僅有六個二項式。問題是，這推想會是真的嗎？要是真的，能找到實例嗎？
其四
我們已知有
(1, 2, 3)2
(1, 2, 4, 3)3
(1, 5, 4, 3, 2, 6)4
[(1, 10, 16, 7)3(2, 3, 15, 14)3(5, 8, 12, 9)3(4, 6, 13, 11)3] 7
以至在第四節中介紹過的，兩邊各有64個二項的九次等冪和恆等式，其系數剛好從1 至 64 齊備，在其他冪次的等冪和恆等式裡，也有類似的式子嗎？
換個說法，設某個Ｋ次等冪和恆等式，其置換記號裡的系數恰是由連續自然數構成的，而這些連續自然數的個數是Ａ(K)，則我們現在僅知道
Ａ(2)＝3
Ａ(3)＝4
Ａ(4)＝6
Ａ(7)＝16
Ａ(9)＝64
那麼其他的冪次的情況如何？而Ａ(7)＝16是否在Ｋ＝7時是最小的？Ａ(9)＝64是否在Ｋ＝9時是最小的？
附錄：
這是第四節裡最後的那個九次等冪和恆等式的顯式：
甲組
A+58B,
乙組
B+
5B+
4B+
2B+
17B+
33B+
试以Ａ＝101，Ｂ＝3 代入，
甲組的64個數是：
5558, 275, 5906, 1781, 1202, 6485, 854, 4979;
5772, 673, 5692, 1383, 988, 6087, 1068, 5377;
5971, 566, 5493, 1490, 789, 6194, 1267, 5270;
6268, 355, 5196, 1701, 492, 6405, 1564, 5059;
2677, 1786, 2419, 3310, 3637, 3572, 4787, 4852, 3946, 3765, 4478, 4659, 4564, 4151, 3860, 4273;
4341, 3450, 4083, 4974, 1973, 1908, 3123, 3188, 2282, 2101, 2814, 2995, 2487, 2196, 2609, 2900
乙組的64個數是：
266, 5861, 1790, 5603, 6494, 899, 4970, 1157;
676, 5671, 1380, 5793, 6084, 1089, 5380, 967;
581, 5466, 1475, 5998, 6179, 1294, 5285, 762;
388, 5157, 1668, 6307, 6372, 1603, 5092, 453;
1795, 2374, 3301, 2722, 3539, 4748, 4885, 3676, 3750, 4451, 4674, 3973, 4172, 3857, 4252, 4567;
3459, 4038, 4965, 4386, 1875, 3084, 3221, 2012, 2086, 2787, 3010, 2309, 2193, 2588, 2903, 2508;
甲乙兩組數各自的一次冪和都是：216 320
二次冪和都是：944 219 296
三次冪和都是：4 631 731 245 440
四次冪和都是：24 216 692 685 395 872
五次冪和都是：131 786 221 128 959 196 800
六次冪和都是：737 259 014 853 534 583 043 296
七次冪和都是：4 209 277 040 657 957 409 734 303 360
八次冪和都是：24 412 478 116 965 791 243 849 799 906 592
九次冪和都是：143 367 418 516 716 072 214 481 967 920 512 640
