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2010-04-19 22:07:21
Every term appears exactly once in this sequence, and the primes occur in increasing order (Lagarias et al. 2002). The inverse permutation of the integers giving the sequence is 1, 2, 5, 3, 10, 4, 14, 8, 6, 9, 20, 7, 28, ... (Sloane's ).
Lagarias et al. (2002) established the bounds
for the n term a(n). For the first 10^7 terms, whenever a prime p occurs, it is immediately preceded by 2p and followed by 3p. This results in a three lines of points when the sequence is plotted without connecting the dots.
from
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心电图数列有很多有趣的性质。例如，考虑某个素数 p ，如果数列中第一个能被 p 整除的数是 t·p ，那么 t 一定就是前一项的因子了。由于 t·p 满足最小性，因此我们可以进一步得出， t 是 t·p 前一项的最小素因子。我们还可以推算出 t·p 的后一项。 t·p 的后一项要么就是 p ，要么就是（比 p 小的） t 的倍数。但后者是不可能，如果存在某个 t 的倍数比 p 小而之前又没出现过，那 t·p 这一项本身就不会是 t·p 了，而将由这个 t 的倍数取代。因此， t·p 的后一项一定是 p 。我们还可以看出，只要 t≠2 ，这个 p 的后一项就一定是 2p ；而当 t=2 时， p 的后一项就只能是 3p 了。也就是说，如果数列中出现了一个素数 p ，那么 2p 不是它的前一项就一定是它的后一项。
有意思的是，除了 p=2 以外，目前我们还没有找到 2p 出现在 p 后面的情况。换句话说，人们发现，对于数列中的每个奇素数 p ，它的前一项无一例外地都是 2p ，并且后一项总是跟着 3p 。证明或推翻这个猜想并不容易，直到最近几年才出现有关它的证明。很大程度上来说，这是整个数列呈心电图模样的最关键原因。
心电图数列有一个很漂亮的数学事实：所有的自然数都出现在了这个数列中。由这个数列的定义，每个数最多也只能出现一次。因此，心电图数列是全体自然数的一个排列。这个结论的证明堪称经典。首先我们证明引理 1 ：如果数列中有无穷多项都是某个素数 p 的倍数，那么 p 的任意一个倍数都出现在了数列中。证明的基本思路是反证。无妨假定 k·p 是最小的不在数列中的 p 的倍数。我们总能找到一个充分大的 N ，使得从第 N 项开始所有数都不小于 k·p 。然而数列中有无穷多项都是 p 的倍数，因此在第 N 项后面一定能找到一个 p 的倍数，这个数的下一项就只可能是 k·p 了，矛盾。
我们可以故技重施，继续证明引理 2 ：如果某个素数 p 的任意一个倍数都出现在了数列中，那么所有正整数都出现在了数列中。反证，假设 k 是最小的不在数列中的数，我们总能找到一个充分大的 N ，使得从第 N 项起后面的所有数都不小于 k 。由于素数 p 的任一倍数都在数列里，因此 k·p 的任一倍数都在数列里，即数列中有无穷多项都是 k 的倍数。那么，第 N 项之后一定存在一个 k 的倍数，它的下一项就只可能是 k 了，矛盾。
接下来就是最妙的地方了。我们可以利用上面两个引理立即得知，所有正整数都出现在了数列中。假设数列中所有项的所有素因子只有有限多种，但整个数列有无穷多个数，因此至少有一种素因子出现了无穷多次，由引理 1 可知这个素因子的所有倍数都在数列里，由引理 2 所有数都出现在了数列中，与前面的假设矛盾。因此，数列中包含有无穷多种素因子。而前面说过，数列中第一个含有素因子 p 的项，其下一项一定是素数 p 。因此，数列中出现了无穷多个素数。而素数 p 的前一项或者后一项必有一个是 2p ，因此素因子 2 出现了无数多次。由引理 1 可知 2 的所有倍数都在数列里。由引理 2 可知所有数都在数列中了。
